ВОПРОСЫ для подготовки к экзамену, зачету

1. Математический анализ Тема 1. Множества

1. Понятия множества, подмножества. Множества конечные и бесконечные. Пустое множество. Мощность множества.

2. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

3. Границы множества. Открытые и замкнутые множества. Понятие окрестности точки.

Тема 2. Последовательности

4. Понятие последовательности. Числовые последовательности и их свойства. Операции над последовательностями.

5. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.

6. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного последовательностей.

7. Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

8. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

9. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение общего члена и суммы n–первых членов прогрессий.

Тема 3. Функции одной переменной

10. Понятие функции одной переменной. Область определения и область значений функции. Числовые функции.

11. Элементарные функции, их свойства и графики. Способы задания функции.

12. Ограниченность и монотонность функций.

13. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

14. Предел функции на бесконечности и в точке. Правила вычисления пределов.

15. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций; непрерывность сложной функции.

16. Точка разрыва функции; классификация точек разрыва.

17. Основные свойства непрерывных функций на отрезке: теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции; теорема о существовании корня; теорема о промежуточном значении функции, теорема об ограниченности функции.

Тема 4. Производная и дифференциал функции одной переменной

18. Определение производной функции одной переменной. Геометрический, механический и экономический смысл производной.

19. Связь между свойствами непрерывности и дифференцируемости функции.

20. Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная второго порядка.

21. Теоремы о промежуточных значениях производной функции: Ферма и Ролля.

22. Теоремы о промежуточных значениях производной функции: Лагранжа о конечном приращении и Коши.

23. Правило Лопиталя; раскрытие неопределенностей различных видов.

24. Формула Тейлора для функции.

25. Необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции.

26. Необходимое и достаточные условия экстремума функции.

27. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

28. Точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции. Асимптоты графика функции.

29. Определение дифференциала функции. Теорема о единственности дифференциала функции.

30. Связь дифференциала функции с производной. Свойства дифференциала.