- •Тема 3. Методи розв’язування
- •1) Метод Гаусса-Жордана
- •Порядок заповнення розрахункової таблиці:
- •Алгоритм -го кроку методу Гаусса-Жордана
- •2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана
- •2) Інші прямі методи
- •2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод простої ітерації
- •4. Умови збіжності методу простої ітерації
- •Метод Зейделя
- •Тема 4. Методи розв’язування нелінійних рівнянь
- •1. Постановка задачі розв’язування нелінійного рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів.
- •Відокремлення коренів.
- •Способи відокремлення коренів
- •2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам
- •3. Метод хорд
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом хорд
- •4. Метод дотичних (метод Ньютона)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних
- •5. Метод простих ітерацій
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій
2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана
Розглянемо питання про похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана. Якщо систему записано в матричному вигляді (1) , то розв'язок можна записано у вигляді . Однак, обчислений за методом Гаусса-Жордана розв'язок відрізняється від розв'язку з-за похибок округлень, які пов'язані з обмеженістю розрядної сітки машини.
Існують дві величини, які характеризують ступінь відхилення отриманого розв'язку від точного. Одна з них – це похибка , яка дорівнює різниці точного і отриманого розв'язків:
;
друга – відхил , яка дорівнює різниці між лівою і правою частинами рівнянь системи при підстановці в них розв'язку:
.
Можна показати, що якщо одна з цих величин дорівнює 0, то й друга повинна дорівнювати 0. Однак, з малості однієї не випливає малість другої. Якщо , то звичайно , але обернене справедливе не завжди. Зокрема для погано обумовлених систем (тобто, таких систем, в яких малі похибки обчислень або вихідних даних можуть привести до великих похибок в розв'язку) при похибка розв'язку може бути великою.
Разом з цим в практичних розрахунках, якщо система не є погано обумовленою, контроль точності розв'язку здійснюється за допомогою відхилу (похибку звичайно обчислити неможливо, тому що невідомий точний розв'язок). Відзначимо, що метод Гаусса-Жордана в цих випадках дає малі відхили.
2) Інші прямі методи
Серед прямих методів найбільш розповсюджений метод Гаусса; він зручний для обчислень на комп’ютері. Вкажемо деякі інші прямі методи.
Метод прогонки є модифікацією методу Гауса для окремого випадку розріджених систем – системи лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею, тобто з матрицею, всі елементи якої, що не лежать на головній і двох побічних діагоналях, дорівнюють нулю при та Такі системи зустрічаються при моделюванні деяких інженерних задач, а також при чисельному розв’язуванні крайових задач для диференціальних рівнянь.
Метод квадратного кореня використовується в тих випадках, коли матриця системи є симетричною.
Метод оптимального виключення є зручним при введені по рядках матриці системи в оперативну пам'ять. Але цей метод має недоліки: часте звернення до зовнішніх пристроїв, неможливість вибору головного елементу та ін.
Кліткові методи використовуються для розв’язування великих систем, коли матриця і вектор вільних членів цілком не вміщуються в оперативну пам'ять.
2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Ітераційні методи (їх також називають методами послідовних наближень) полягають у тому, що розв’язок системи (1) відшукується як границя при послідовних наближень , де – номер ітерації. Як правило, за скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.
-
Метод простої ітерації
Нехай задано систему (1)
(1)
Запишемо цю систему у матричному вигляді:
(2)
Припускаючи, що діагональні елементи матриці ненульові , розв'яжемо перше рівняння системи відносно , друге – відносно і т.д. Отримаємо систему:
де , при , при , .
Вводячи матриці
та ,
останню систему запишемо у матричному вигляді:
.
Задамо початкове наближення розв'язку , покладаючи
.
Всі наступні наближення обчислюються за формулою:
(6)
Формула (6) і виражає собою метод простої ітерації.
Якщо існує границя , то вона є розв’язком системи (1).