2. Метод Зейделя

Метод Зейделя є модифікацією метода простих ітерацій і в деяких випадках приводить до більш швидкої збіжності.

Ітерації за методом Зейделя відрізняються від простих ітерацій (6) тим, що при знаходженні -ї компоненти -го наближення використовуються вже знайдені компоненти -го наближення з меншими номерами . Ітераційний процес можна записати у вигляді:

;

;

; (11)

…………………………………………………………….

;

В кожне наступне рівняння підставляються значення невідомих, отримані з попередніх рівнянь, що показано стрілками.

Приклад 4. Методом Зейделя розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

з точністю , попередньо оцінивши число ітерацій.

Розв’язання.

1. Приведемо систему до вигляду як у прикладі 3.

Отримаємо систему:

де

та ,

Оскільки , то достатня умова збіжності виконується.

2. Задамо початкове наближення .

3. Виконаємо розрахунки за формулами (11) :

,

Результати занесемо в розрахункову таблицю:

0	1,2000	0	0	-
1	1,2000	1,0600	0,9480	1,0600
2	0,9992	1,0054	0,9991	0,1008
3	0,9996	1,0002	1,0000	0,0052
4	1,0000	1,0000	1,0000	0,0004<

Очевидно, знайдений розв'язок є точним.

4. Розрахунки закінчено, оскільки виконана умова закінчення:

<.

Тема 4. Методи розв’язування нелінійних рівнянь

1. Постановка задачі розв’язування нелінійного рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів.

Нехай задана функція , визначена і неперервна для всіх з деякого (скінченного або нескінченного) проміжку. Задача знаходження деяких або всіх коренів нелінійного рівняння

(1)

зустрічається в різних областях наукових і практичних досліджень.

Нелінійні рівняння можна розділити на два класи – алгебраїчні і трансцендентні. Алгебраїчними рівняннями називаються рівняння, які містять тільки алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Зокрема, многочлен є цілою алгебраїчною функцією. Трансцендентними рівняннями називаються рівняння, які містять інші функції (показникові, логарифмічні, тригонометричні та ін.).

Методи чисельного розв’язування нелінійних рівнянь поділяються на дві групи:

- прямі методи;

- ітераційні методи.

Прямі методи дозволяють записати корені у вигляді деякого скінченого співвідношення (формули). Ще зі шкільного курсу алгебри відомі такі методи для розв’язування тригонометричних, логарифмічних, показникових, а також найпростіших алгебраїчних рівнянь.

Але рівняння, що зустрічаються на практиці, не вдається розв’язати такими простими методами. Для їх розв’язування використовуються ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень. Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння складається з наступних етапів:

1) Знаходження можливо тісних відрізків, в яких міститься один і лише один корінь рівняння. Цей етап називається відокремленням коренів. На цьому етапі здійснюється знаходження наближеного значення кореня (початкового наближення);

2) Уточнення наближеного значення кореня до деякої заданої точності за допомогою одного з ітераційних чисельних методів.