- •Тема 3. Методи розв’язування
- •1) Метод Гаусса-Жордана
- •Порядок заповнення розрахункової таблиці:
- •Алгоритм -го кроку методу Гаусса-Жордана
- •2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана
- •2) Інші прямі методи
- •2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод простої ітерації
- •4. Умови збіжності методу простої ітерації
- •Метод Зейделя
- •Тема 4. Методи розв’язування нелінійних рівнянь
- •1. Постановка задачі розв’язування нелінійного рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів.
- •Відокремлення коренів.
- •Способи відокремлення коренів
- •2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам
- •3. Метод хорд
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом хорд
- •4. Метод дотичних (метод Ньютона)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних
- •5. Метод простих ітерацій
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій
4. Метод дотичних (метод Ньютона)
Нехай функція двічі неперервно диференційована на відрізку , причому похідні і не дорівнюють нулеві і зберігають знак на цьому проміжку, а .
За методом дотичних (методом Ньютона) наближене значення кореня рівняння (1) знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої в одній з точок або з віссю (мал. 27). При цьому змінна наближається до кореня лише з одного боку.
Рівняння дотичної, яка проведена до кривої в точці , має вигляд:
Наступне наближення кореня знайдемо як точку перетину дотичної з віссю :
.
Продовжуючи процес наближення, запишемо загальну формулу:
, (5)
Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних
-
Задати початкове наближення так, щоб виконувалася умова . Задати точність . Покласти .
-
Обчислити за формулою (5).
-
Якщо , процес закінчити і покласти .
Якщо , покласти і перейти до п.2.
Приклад 6. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом дотичних з точністю .
Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння було відокремлено: . Очевидно, функція неперервна на відрізку разом із своїми похідними , . Оскільки , , а на відрізку , то . Отже, . Результати розрахунків з використанням формули (5) зведемо в таблицю:
-
0
–2
–
1
–1,545455
0,454545
2
–1,359615
0,185840
3
–1,325801
0,033814
4
–1,324719
0,001082
5
–1,324718
0,000001
Оскільки , то процес завершується: корінь рівняння .
5. Метод простих ітерацій
Нехай знайдений такий відрізок , що , і на кінцях відрізку функція , яка визначає рівняння , набуває значення різних знаків, тобто .
Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій
-
Рівняння перетворити до рівносильного вигляду . Для збіжності процесу ітерацій необхідно, щоб виконувалась умова збіжності , де – деяка константа. При цьому задача зводиться до знаходження абсциси точки перетину прямої і кривої .
-
Задати початкове наближення . Задати точність . Покласти .
-
Обчислити за формулою
(6)
-
Якщо , процес закінчити і покласти .
Якщо , покласти і перейти до п.3.
Приклад 7. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом простих ітерацій з точністю .
Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння було відокремлено: . Перетворимо рівняння до вигляду . Для цього запишемо його у формі . Але функція не задовольняє умові збіжності на відрізку , оскільки , , .
Скористаємося іншим перетворенням. Отримаємо . Функція задовольняє умові збіжності на відрізку , оскільки , , .
Задамо початкове наближення .
Результати розрахунків з використанням формули (6):
зведемо в таблицю:
-
0
–1
-
1
–1,2599
0,2599
2
–1,3123
0,0524
3
–1,3223
0,0100
4
–1,3243
0,0020
5
–1,3246
0,0003
Оскільки , то процес завершується: корінь рівняння .