- •Тема 3. Методи розв’язування
- •1) Метод Гаусса-Жордана
- •Порядок заповнення розрахункової таблиці:
- •Алгоритм -го кроку методу Гаусса-Жордана
- •2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана
- •2) Інші прямі методи
- •2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод простої ітерації
- •4. Умови збіжності методу простої ітерації
- •Метод Зейделя
- •Тема 4. Методи розв’язування нелінійних рівнянь
- •1. Постановка задачі розв’язування нелінійного рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів.
- •Відокремлення коренів.
- •Способи відокремлення коренів
- •2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам
- •3. Метод хорд
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом хорд
- •4. Метод дотичних (метод Ньютона)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних
- •5. Метод простих ітерацій
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій
Відокремлення коренів.
Для відокремлення дійсних коренів корисно визначати спочатку число коренів, а також верхню і нижню межу їх розташування. Для цього використовують наступні теореми.
Теорема 1. (про число коренів алгебраїчного рівняння). Алгебраїчне рівняння -го степеня
(2)
має точно коренів, дійсних або комплексних за умови, що кожен корінь враховується стільки разів, яка його кратність.
Теорема 2 (про властивість спряженості комплексних коренів рівняння). Якщо є коренем кратності алгебраїчного рівняння (2), то число також є коренем кратності алгебраїчного рівняння (2).
Наслідок. Алгебраїчне рівняння непарного степеня має принаймні один дійсний корінь.
Теорема 3 (теорема Декарта про число дійсних коренів алгебраїчного рівняння). Число додатних коренів (з урахуванням їх кратностей) алгебраїчного рівняння (2) дорівнює числу змін знаків в послідовності коефіцієнтів (нульові коефіцієнти не враховуються) многочлена або менше цього числа на парне число. Число від'ємних коренів (з урахуванням їх кратностей) алгебраїчного рівняння (2) дорівнює числу змін знаків в послідовності коефіцієнтів многочлена або менше цього числа на парне число.
В обчислювальній практиці використовуються наступні
Способи відокремлення коренів
1. Графічний. Для наближеного розв'язання рівняння будують графік функції . Абсциси точок перетину цього графіка з віссю абсцис і є коренями рівняння .
Оскільки практично графік функції точно побудувати неможливо, то цим методом можна визначити лише наближені значення коренів рівняння , та визначити межі, в яких міститься розв'язок.
2. Аналітичний. Засобами математичного аналізу проводиться дослідження функції . Тут застосовується наступна теорема:
Теорема 4. Якщо функція , яка визначає рівняння , на кінцях відрізку набуває значення різних знаків, тобто , то в цьому відрізку міститься принаймні один корінь рівняння. Якщо ж функція неперервна і диференційована і її перша похідна зберігає знак всередині відрізка , то в цьому відрізку міститься тільки один корінь рівняння.
Якщо існує неперервна похідна і корені рівняння легко обчислюються, то процес відокремлення коренів рівняння (1) можна упорядкувати. Для цього, очевидно, достатньо підрахувати лише знаки функції в точках нулів її похідної і в граничних точках. Цей метод добре використовувати тоді, коли невідомо, скільки коренів має рівняння.
3. Формування більш простих функцій і , таких, що рівняння подається у рівносильному вигляді , з подальшою побудовою графіків двох функцій: і . Коренями рівняння є абсциси точок перетину графіків функцій і .
Приклад 1. Відокремити корені рівняння
.
Розв’язання. Згідно з теоремою 1 і наслідком з теореми 2 це алгебраїчне рівняння має три корені, серед яких принаймні один дійсний. Визначимо число додатних і від'ємних коренів. Для цього випишемо коефіцієнти многочлена : 1, 0, –1, 1. Оскільки число змін знаку , то число додатних коренів дорівнює 2 або менше на парне число, тобто вони відсутні. Випишемо коефіцієнти многочлена : –1, 0, 1, 1. Оскільки число змін знаку , то число від'ємних коренів дорівнює 1.
Відокремимо корені першим способом.
Складаємо таблицю значень функції :
x |
–2 |
–1,5 |
–1,25 |
–1 |
0 |
1 |
y |
–5 |
–0,875 |
0,297 |
1 |
1 |
1 |
Будуємо її графік:
Очевидно, корінь .
Приклад 2. Відокремити корені рівняння .
Розв’язання. Відокремимо корені другим способом.
Знайдемо першу похідну
і точки, де вона дорівнює нулю:
, , .
Визначимо знаки функції в точках нуля її похідної і в граничних точках:, , . Отже, рівняння має тільки 2 дійсних кореня, які лежать в інтервалах .
Приклад 3. Відокремити корені рівняння .
Розв’язання. Відокремимо корені третім способом.
Подамо це рівняння у вигляді . Поклавши , , визначимо абсцису точок перетину графіків функцій побудуємо таблиці значень обох функцій:
–1 |
0 |
0,5 |
1 |
|
1 |
0 |
0,25 |
1 |
|
2,7 |
1 |
0,6 |
2,7 |
Побудуємо графіки функцій і .
За графіком корінь . При цьому .
Дамо тепер оцінку похибки наближеного кореня.
Теорема. Нехай – точний, а – наближений корінь рівняння (1), що містяться у відрізку , причому для будь-яких (зокрема, за можна узяти найменше значення , ). У такому разі справедлива оцінка:
.
Ця формула може дати грубі результати і її не завжди зручно застосовувати. Тому на практиці тим або іншим способом звужують загальний інтервал, що містить точний корінь і його наближені значення, і вважають .
Зауваження. Помилково визначати точність наближеного кореня по тому, наскільки добре він задовольняє даному рівнянню, тобто якщо число мале, то вважають, що добре наближає точний корінь .
Наближені значення кореня уточнюють різними ітераційними методами. Розглянемо деякі з них.