3. Метод хорд

Нехай знайдений такий відрізок , що , і на кінцях відрізку функція , яка визначає рівняння , набуває значення різних знаків, тобто .

Метод хорд (його ще називають методом лінійного інтерполювання) при тих самих припущеннях забезпечує більш швидке знаходження кореня, чим метод поділу відрізку пополам. Для цього відрізок ділиться не пополам, а у відношенні .

Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої хордою, яка проходить через точки і . За наближення кореню рівняння (1) приймаються значення абсциси точки перетину хорди, що проходить через точки і з віссю :

Рівняння хорди , як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, має вигляд:

.

Покладемо і , тоді отримаємо6

Припустимо, що виконуються наступні умови:

1) на неперервна разом із своїми похідними і ;

2) ;

3) і зберігають кожна певний знак на .

Розглянемо два випадки: , і , . Випадок зводиться до розглядуваного, якщо рівняння записати у формі .

Першому випадку (мал.1) відповідає формула:

;

, (3)

а другому (мал.2):

;

, (4)

1) 2)

В першому випадку залишається нерухомим кінець , а в другому – кінець . Для виявлення нерухомого кінця використовується умова , де або . Якщо нерухомий кінець , застосовується формула (3), а якщо кінець – формула (4).

Алгоритм знаходження кореня рівняння методом хорд

1. Задати початкове наближення так, щоб виконувалася умова , де або . Задати точність . Покласти .

2. Якщо , то обчислюємо за формулою (3), якщо , то обчислюємо за формулою (4).

3. Якщо , процес закінчити і покласти .

Якщо , покласти і перейти до п.2.

Приклад 5. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом хорд з точністю .

Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння був відокремлений: . Очевидно, функція неперервна на відрізку разом із своїми похідними , . Оскільки , , а на відрізку , то і маємо другий випадок. Результати розрахунків з використанням формули (4) зведемо в таблицю:

0	–2
1	–1,1666	0,8334
2	–1,3953	0,2287
3	–1,2991	0,0962
4	–1,3347	0,0356
5	–1,3209	0,0138
6	–1,3261	0,0052
7	–1,3241	0,0020
8	–1,3248	0,0007

Оскільки , то процес завершується: корінь рівняння .