2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)

Нехай дано рівняння і відокремлений простий корінь , тобто знайдений такий відрізок , що , і на кінцях відрізку функція , яка визначає рівняння , набуває значення різних знаків, тобто . Відрізок називається початковим інтервалом невизначеності, тому що відомо, що корінь йому належить, але його місцеположення з заданою точністю не визначено.

Процедура уточнення положення кореня полягає в побудові вкладених один в один відрізків, кожен з яких містить корінь рівняння. Для цього знаходиться середина поточного інтервалу невизначеності , , і за наступний інтервал невизначеності з двох можливих обирається той, на кінцях якого функція набуває значення різних знаків.

Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам

1. Знайти початковий інтервал невизначеності одним з методів відокремлення коренів. Задати точність . Покласти .

2. Знайти середину поточного інтервалу невизначеності:

.

3. Якщо , то покласти , , а якщо , то покласти , . В результаті знайдемо поточний інтервал невизначеності.

4. Якщо , то процес завершується: . Наближене значення кореня знаходиться за формулою:

.

Якщо , то покласти і перейти до п. 2.

Число ітерацій , необхідних для досягнення заданої точності , можна оцінити за формулою:

.

Звідси видно, що, наприклад, для досягнення точності (при ) необхідно виконати приблизно 10 ітерацій.

Приклад 4. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом поділу відрізку пополам з точністю .

Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння був відокремлений: , тому , . Очевидно, функція неперервна на відрізку , має єдиний простий корінь. На кінцях відрізку функція набуває значень , , протилежних за знаком. Результати розрахунків зведемо в таблиці:

0	–5	–2	–1	1	–1,5	–0,875	1
1	–0,875	–1,5	–1	1	–1,25	0,2965	0,5
2	–0,875	–1,5	–1,25	0,2965	–1,375	–0,224	0,25
3	–0,224	–1,375	–1,25	0,2965	–1,3125	0,05	0,125
4	–0,224	–1,375	–1,3125	0,05		–0,08	0,0625
5	–0,08	–1,34375	–1,3125	0,05	–1,3282	–0,015	0,03125
6	–0,015	–1,3282	–1,3125	0,05	–1,3204	0,018	0,0156
7	–0,015	–1,3282	–1,3204	0,018	–1,3243	0,0018	0,00781

Оскільки , то процес завершується: . Наближене значення кореня знаходиться за формулою:

.