- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
13.4. Общее уравнение линии второго порядка
Общее уравнение имеет вид
.
Коэффициенты , и одновременно в нуль не обращаются.
С помощью преобразования системы координат общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к каноническому виду.
Пусть . Получим общее уравнение линии второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат.
Оно приводится к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. При приведении общего уравнения к каноническому виду удобно использовать метод выделения полных квадратов.
По коэффициентам уравнения можно определить вид кривой:
- если , то это уравнение окружности;
- если , то это уравнение эллипса;
- если , то это уравнение гиперболы;
- если или , то это уравнение параболы.
Пример 1. Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.
По условию , уравнение эллипса. Выделим полные квадраты относительно и относительно .
- уравнение
эллипса с центром в точке и с полуосями , . |
|
Пример 2. Привести общее уравнение
к каноническому виду и построить кривую.
По условию , уравнение гиперболы.
Выделим полные квадраты относительно и относительно .
- уравнение гиперболы с центром в точке , действительная полуось , мнимая полуось .
Пример 3. Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.
По условию уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна .
Выделим полный квадрат относительно .
- уравнение параболы с вершиной в точке , параметр , ветви направлены влево.
Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 14. Плоскость
14.1. Общее уравнение плоскости
Пусть заданы: система координат , плоскость , точка и вектор . Произвольная точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и будут перпендикулярны,
т.е.
Координаты векторов: ,
.
Следовательно,
(1)
- уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору,
где - текущие координаты; - координаты точки ;
- координаты вектора .
Преобразуем уравнение (1).
Получим (2) – общее уравнение плоскости .
Из общего уравнения получаем вектор , называемый нормальным вектором плоскости .
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярной вектору .
Применяя уравнение (1), получим: ;
или - это и есть общее уравнение плоскости.
14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости , определяемой общим уравнением: .
1. Если ,то .
, то .
Если , то .
Если , то проходит через начало координат.
2. Если , то .
Если , то .
Если , то .
3. Если , то проходит через ось .
Если , то проходит через ось .
Если , то проходит через ось .
4. Если - это уравнение плоскости .
Если - это уравнение плоскости .
Если - это уравнение плоскости .
5. Если , то уравнение плоскости можно привести к виду : или . Обозначив ,
получим (3) – уравнение плоскости в отрезках на осях,
где , , - точки пересечения с осями координат.
Примеры. Построить плоскости, заданные общими уравнениями:
1.
.
2. .
|
3. .
|
4. .
|
5. .
|