- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть даны точки , , принадлежащие плоскости .
Точка - произвольная точка плоскости .
Построим векторы: ,
,
.
Так как точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.
(4) |
- уравнение плоскости, проходящей через три точки.
|
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .
Используем уравнение (4):
.
14.4. Нормальное уравнение плоскости
1. Пусть в системе координат задана плоскость .
Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости .
Будем называть ее нормалью.
Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим . Построим вектор , длину которого обозначим .
Введем единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора .
Пусть - углы, которые составляет вектор с осями координат. Так как , то .
2. Выведем уравнение плоскости , считая известными числа и .
Пусть - произвольная точка. Она лежит в плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на нормаль равна . Таким образом,
(5) |
- нормальное уравнение плоскости |
3. Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду.
|
- общее уравнение. (1) |
|
- нормальное уравнение. (2) |
Так как то, умножая, коэффициенты уравнения (1) на некоторый множитель , получим уравнение , совпадающее с уравнением (2), т. е
.
Возведем первые три из равенств в квадрат и почленно сложим:
|
- нормирующий множитель. |
Знак его противоположен знаку в общем уравнении, т. к. .
Пример. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.
,
- это и есть нормальное уравнение плоскости .
14.5. Пучок плоскостей
Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.
Определение. Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей.
Уравнение пучка плоскостей: .
Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.
Пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .
Запишем уравнение пучка плоскостей:
.
Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .
Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
или .
14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
1. Пусть даны плоскости:
, где ,
, где .
-
Если
- условие параллельности
плоскостей.
-
Если
- условие
перпендикулярности
плоскостей.
3. Если , то
-
2. Расстояние от точки до плоскости
находим по формуле: