- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
§9. Векторное произведение векторов
9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если сказано, какой из них считать первым, какой вторым, какой третьим.
Например, в записи : - первый вектор, - второй, - третий.
Определение. Упорядоченная тройка трех некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого ко второму виден совершающимся против
часовой стрелки.
В противном случае тройка называется левой.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1) , , |
2) , |
3) - правая тройка векторов. |
Обозначается: или .
Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение выражается по формуле:
Пример. Даны векторы , . Найти .
Ответ: .
9.2. Свойства векторного произведения
1. |
2. |
3. |
4. |
5. , , , |
9.3. Приложения векторного произведения
1. Установление параллельности векторов: .
2. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника:
, .
В физике:
3. Определение момента силы относительно точки.
Пусть к точке приложена сила , точка - произвольная точка пространства.
Моментом силы относительно точки является вектор, проходящий через точку , для которого выполняются условия:
-
1. = ,
2. и ,
3. и - образуют правую тройку.
4. Нахождение линейной скорости вращения.
Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, равна (- некоторая точка оси).
§ 10. Смешанное произведение векторов
10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
Определение. Смешанным произведением векторов называется число, равное .
Свойства смешанного произведения векторов:
1. Знаки в смешанном произведении можно расставлять произвольно или вообще опускать, т.е. .
2. Переставлять векторы можно только в круговом порядке:
= = = .
3. Знак смешанного произведения изменится на противоположный, если поменять местами два соседних вектора: .
4. Если , , и векторы компланарны.
Вычисление смешанного произведения.
, , .
10.2. Приложения смешанного произведения
1. Установление компланарности векторов .
2. Определение взаимной ориентации в пространстве:
если - правая тройка,
если - левая тройка.
3. Вычисление объемов параллелепипеда и пирамиды , построенных на векторах : , .
Пример 1. Показать, что векторы , , компланарны.
- компланарны.
Пример 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами , , , .
, , .
.