- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
§ 15. Прямая в пространстве.
15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
1. Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.
|
|
|
(1) - общие уравнения прямой .
|
2. Пусть заданы прямая , точка и вектор .
Произвольная точка лежит на прямой , если
(2) – канонические уравнения прямой .
3десь: - текущие координаты, - координаты точки , - координаты вектора .
3. Пусть , где - параметр, .
Тогда, |
|
|
(3) – параметрические уравнения прямой .
|
|
15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка также принадлежит прямой , если векторы и будут параллельны. Из условия параллельности векторов получаем
(4) |
– уравнения прямой, проходящей через две точки |
Пример 1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .
Воспользуемся уравнением (4) -канонические уравнения искомой прямой, где .
Пример 2. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.
.
1 способ.
1) Найдем точку , принадлежащую прямой .
Предположим, что и решим систему
, .
2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и , то за можно принять векторное произведение векторов и .
, где .
Искомая прямая определяется уравнениями .
2 способ. Найдем две точки и искомой прямой.
Предположим, что и решим систему
, .
( см. 1 способ решения).
Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и
.
15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пусть прямые заданы каноническими уравнениями
|
, |
|
. |
1.
|
- |
|
условие параллельности прямых
|
||
2.
|
|
|
- |
||
условие перпендикулярности прямых
|
||
3. |
|
|
|
||
|
4. Пусть , , , ,
.
Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , , компланарны,
т.е. .
Следовательно, это условие, при котором и лежат в одной плоскости.