Последовательное соединение сопротивлений.

Два или несколько сопротивлений называются соединенными последовательно, если конец первого сопротивления соединен с началом второго сопротивления, конец второго – с началом третьего и т.д.

При последовательном соединении сопротивлений ток во всех сопротивлениях одинаковый, т.е.:

Этот ток, проходя через каждое сопротивление, создает на низ падения напряжений:

; ; ; .

Мощность каждого из сопротивлений и всей цепи будет определяться по формулам:

; ; ; .(*)

или, с учетом того, что :

; ; ; .(**)

Согласно закона сохранения энергии:

Подставим в формулу закона сохранения энергии выражение (*):

, т.к. тогда:

Теперь подставим в формулу закона сохранения энергии выражение (**):

, а т.к.

тогда:

При последовательном соединении сопротивлений общее сопротивление всей цепи всегда равно сумме всех сопротивлений цепи.

Пример:

Три сопротивления R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 25 Ом соединены последовательно и подключены в сеть постоянного тока под напряжение 500 В. Определить I; U₁; U₂; U₃; P₁; P₂; P₃; P_об.

Дано:

U = 500 В

R₁ = 10 Ом

R₂ = 15 Ом

R₃ = 25 Ом

I; U₁; U₂; U₃ =10+15+25=50 Ом.

P₁; P₂; P₃; P_об.

= 10∙10=100 В; = 10²∙10 = 1000 Вт.

= 10∙15=150 В; = 10²∙15 = 1500 Вт.

= 10∙25=250 В; = 10²∙25 = 2500 Вт.

= 10²∙50 = 5000 Вт.

Параллельное соединение сопротивлений.

Два или несколько сопротивлений называются соединенными параллельно, если начала всех сопротивлений соединены в одну точку, а их концы – в другую, образуя узлы электрической цепи.

При параллельном соединении сопротивлений напряжения на всех сопротивлениях одинаковы:

,

а токи распределяются обратно пропорционально сопротивлениям:

; ; ; ,

т.е., где будет большее сопротивление, там ток будет меньше и наоборот.

Согласно первому правилу Кирхгофа для узла А можно записать:

, тогда:

т.к. , тогда:

При параллельном соединении сопротивлений величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных каждому из параллельно соединенных сопротивлений.

Величина, обратная сопротивлению называется проводимостью.

Учитывая это при параллельном соединении сопротивлений, общая проводимость всегда равна сумме проводимостей каждой из параллельных ветвей:

[См]

Частные случаи:

1. только два сопротивления соединены параллельно:

2. «n»-штук одинаковых по величине сопротивлений, соединенных параллельно:

Пример:

Десять медных проволочек длиною 10 км соединены параллельно. Определить общее сопротивление, если площадь поперечного сечения их 1,75 мм², удельное сопротивление 0,0175 .

Дано

Смешанное соединение сопротивлений.

При смешанном соединении сопротивлений расчет электрической цепи производится так называемым методом упрощения схемы:

Сущность этого метода заключается в том, что в цепи выделяются участки с одинаково соединенными сопротивлениями. Эти группы сопротивлений заменяют одним эквивалентным им сопротивлением и приводят схему к какому-то одному способу соединения: или к последовательному, или к параллельному. После чего определяется общее сопротивление всей цепи.

Пример:

Для выше приведенной схемы определить: I₁; I₂; I₃; I_об.; P₁; P₂; P₃; P_об., если:

Дано

R₁ = 12 Ом

R₂ = 10 Ом

R₃ = 40 Ом

U_ОБЩ. = 200 В

т.к. R₂ соединен параллельно с R₃, то ;

;

Поверка: по первому правилу Кирхгофа для узла А:

= 10²·12 =1200 Вт;

= 8²·10 =640 Вт;

= 2²·40 =160 Вт;

= 10²·20 = 2000 Вт.

Поверка: по закону сохранения энергии:

; 2000 = 1200 + 640 + 160 (Вт).

Пример:

Для ниже приведенной схемы смешанного соединения сопротивлений определить токи: I₁; I₂; I₃; I₄; I₅; I_об. и мощности: Р₁; Р₂; Р₃; Р₄; Р₅; Р_об., если известно, что:

R₁ = 6 Ом

R₂ = 15 Ом

R₃ = 5 Ом

R₄ = 30 Ом

R₅ = 6 Ом

U_об. = 120 В

I₁; I₂; I₃; I₄; I₅; I_об.–?

Р₁; Р₂; Р₃; Р₄; Р₅; Р_об.–?

1. Определяем общее сопротивление цепи:

   1. т.к. R₄ и R₅ соединены параллельно, то , тогда схема приобретает вид:

2. т.к. R₃ и R₄₅ соединены последовательно, то , тогда схема примет вид:

3. т.к. R₂ и R₃₄₅ соединены параллельно, то , тогда схема примет вид:

4. т.к. R₁ и R₂₃₄₅ соединены последовательно, то , тогда схема примет вид:

2. Определим общий ток в цепи:

,

т.к. , тогда .

3. Определим напряжение U₁:

;

4. Определим напряжение U₂, т.к. сопротивления R₁ и R₂₃₄₅ соединены последовательно, то:

, откуда:

.

Т.к. сопротивления R₂ и R₃₄₅ соединены параллельно, то напряжение:

5. Определим ток I₂:

.

6. Определим ток I₃, т.к. по первому правилу Кирхгофа узловое уравнение токов для узла С имеет вид:

, тогда: .

7. Определим напряжение U₃:

8. Определим напряжения U₄ и U₅. Т.к. сопротивления R₃ и R₄₅ соединены последовательно, тогда:

, откуда

Поскольку R₄ и R₅ соединены параллельно, то

9. Определим токи I₄ и I₅:

Проверка: для узла Е по первому правилу Кирхгофа узловое уравнение токов будет иметь вид:

10. Определим мощности:

Проверка: по закону сохранения энергии:

Электрическая цепь с двумя источниками ЭДС. Понятие о режимах работы источников ЭДС.

На рисунках 1 и 2 показаны схемы двух электрических цепей, состоящих из одних и тех же элементов.

Но в схеме приведенной на рисунке 1, источники ЭДС Е₁ и Е₂ включены согласно, а в схеме, приведенной на рисунке 2 источники ЭДС Е₁ и Е₂ включены встречно. Каждый из ЭДС Е₁ и Е₂ вызывает появление тока, соответственно, I₁ и I₂, а результирующий ток I и в первом и во втором случае определяется, как результат наложения токов I₁ и I₂.

В схеме приведенной на рис. 1: .

В схеме приведенной на рис. 2: , при условии, что .

Расчет электрических цепей, содержащих несколько источников ЭДС можно производить методом наложения токов, сущность которого заключается в том, что:

для определения результирующего тока в цепи сначала определяют его составляющие, считая, что в цепи действует только одна какая-то ЭДС, а остальные ЭДС принимают равными нулю; причем их внутреннее сопротивление из схемы не исключают.

Поэтому, для нашего случая считаем, что ЭДС Е₂ = 0, а в цепи будет действовать только Е₁, вызывая в цепи ток I₁, который, исходя из закона Ома для полной цепи, будет равен:

Затем считаем, что ЭДС Е₁ = 0, а в цепи будет действовать только Е₂, вызывая появление тока I₂, величина которого будет определятся по формуле:

Определив токи I₁ и I₂, определяют результирующий ток I, учитывая при этом величину и направление токов I₁ и I₂.

Для схемы, приведенной на рис. 2, при условии, что Е₁ > Е₂, результирующий ток определяется по формуле:

Следовательно:

В схеме, приведенной на рис. 2, результирующий ток I совпадает по направлению с ЭДС Е₁ и направлен навстречу ЭДС Е₂.

Зная направления ЭДС и направление результирующего тока в цепи, можно установить режимы работы источников ЭДС.

Если направление ЭДС и направление результирующего тока совпадают, то источник ЭДС работает в режиме генератора (т.е. он работает, действительно, как источник питания, отдавая энергию потребителям).

Если же направление ЭДС и направление результирующего тока НЕ совпадают, по направлению, то такой источник ЭДС работает в режиме потребителя, а ЭДС в этом случае называется встречной или противоЭДС.

Кроме выше изложенного, режим работы источников ЭДС можно установить еще, сравнивая величину ЭДС с величиной напряжения на зажимах источника ЭДС:

– если величина ЭДС больше напряжения, то этот источник ЭДС работает в генераторном режиме ;

– если величина а ЭДС меньше напряжения, то источник ЭДС работает в режиме потребителя.

Итак:

–– это напряжение на зажимах источника ЭДС Е₁, работающего в режиме генератора, т.к.: напряжение U_AC<E₁ на величину внутреннего падения напряжения IR₀₁.

–– это напряжение на зажимах источника ЭДС Е₂, работающего в режиме потребителя, т.к.: напряжение U_BC>E₂ на величину внутреннего падения напряжения IR₀₂.

« – » – для режима генератора

« + » –для режима потребителя.

Потеря напряжения в проводах линий электропередач (ЛЭП).

Расчет и выбор сечения проводов.

Т.к. провода ЛЭП обладают каким-то сопротивлением, то при прохождении по ним тока, на сопротивлении проводов будет осуществляться падение напряжения, в результате чего напряжение в конце линии будет несколько меньше напряжения в начале линии.

Падение напряжения на сопротивлении проводов ЛЭП называется потерей напряжения.

где U₁ – напряжение в начале линии;

U₂ – напряжение в конце линии;

ΔU – потеря напряжения в проводах ЛЭП.

Потеря напряжения в проводах ЛЭП зависит от сопротивления проводов и от величины тока, проходящего по этим проводам (иначе говоря от нагрузки).

, где – сопротивление проводов ЛЭП.

Обычно сопротивление проводов в процессе эксплуатации ЛЭП практически не изменяется, поэтому потеря напряжения в проводах ЛЭП будет изменяться в основном пропорционально изменению тока.

С другой стороны потерю напряжения в проводах ЛЭП можно определить, как разность между напряжением в начале линии U₁ и напряжением в конце линии U₂:

(В);

тогда:

Из графика видно, что чем больше ток, проходящий по проводам ЛЭП, тем меньше напряжение в конце линии. Для того, чтобы напряжение в конце линии не снижалось ниже допустимых значений, сечение проводов для ЛЭП обычно рассчитывается, исходя из так называемой допустимой потере напряжения, которое для осветительной нагрузки не должна превышать 2%, а для силовой нагрузки не более 5% от номинального напряжения потребителя:

, тогда , откуда:

–

– так рассчитывается сечение провода, если потеря напряжения будет заданна в вольтах.

Если же потерю напряжения выразить в процентах от номинального напряжения:

, тогда

–

– так рассчитывается сечение провода, если потеря напряжения будет задана в процентах.

Полученное значение сечения расчетным путем сравнивают со стандартными сечениями проводов и к установке принимают ближайшее большее стандартное сечение.

Выбранное сечение провода проверяют еще по допустимому току.

Ниже приведена шкала стандартных сечений для медных изолированных проводов с указанием для них величины допустимого тока.

S, мм^2	1,0	1,5	2,5	4	6	10	16	25	35	50
Iдоп., А	17	23	30	41	50	80	100	140	170	215

Пример:

Определить и выбрать сечение медных проводов, необходимых для подключения электродвигателя мощностью 20 кВт, установленного от источника питания на расстоянии 50 м. Номинальное напряжение двигателя 220 В, а допустимая потеря напряжения 5 %, удельная проводимость меди γ_Cu= 57 м/Ом·мм².

Дано:

К установке принимаем провод медный изолированный с ближайшим большим сечением S = = 16 мм² и допустимым значением тока I_доп. = 100 А.

Второе правило Кирхгофа

– устанавливает зависимость между электродвижущими силами, действующими в каком-то замкнутом контуре электрической цепи и падениями напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур и читается так:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС всегда равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура.

.

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа ЭДС записывается со знаком «+», если направление этой ЭДС совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура, если же направление ЭДС и направление обхода контура не совпадают, тогда ЭДС записывается со знаком «-».

Падение напряжения на сопротивлениях контура записываются со знаком «+», если направление тока в этом сопротивлении совпадает с направлением обхода контура, если же направление токов в сопротивлениях и направление обхода контура не совпадает, тогда падение напряжения записывают со знаком «-».

Пример:

Составим контурное уравнение по второму правилу Кирхгофа для данной электрической цепи, произвольно выбрав:

1. направление токов в отдельных ветвях цепи;

2. направления обходов контуров.

Первый контур состоит из первой и второй ветвей, содержащих одну ЭДС Е₁ и сопротивления R₁ и R₃.

Второй контур состоит из первой и третьей ветвей, содержащих две ЭДС Е₁ и Е₂ и сопротивления R₁ и R₂.

Для первого контура: Для второго контура:

; .

Расчет электрической цепи методом уравнений Кирхгофа (МУК).

Метод уравнений Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений) представляет собой расчет электрических цепей с применением первого и второго правил Кирхгофа.

Поскольку узловые уравнения – это уравнения, составляемые по первому правилу Кирхгофа, а контурные уравнения – это уравнения, составляемые по второму правилу Кирхгофа.

При расчете электрических цепей МУК уравнений составляется столько, сколько неизвестных токов находится в электрической цепи.

Из них по первому правилу Кирхгофа узловых уравнений составляется на одно меньше, чем число узлов в данной цепи, а остальные, недостающие уравнения составляются по второму правилу Кирхгофа.

Прежде чем приступить к составлению уравнений, произвольно выбирают:

• направления токов в отдельных ветвях цепи;

• направления обходов контуров.

Если в конце расчета какой-то из токов получится со знаком «-», то это значит, что действительное направление этого тока будет противоположно ранее принятому.

Если ток в конце расчета будет со знаком «+», то это значит, что действительное направление этого тока будет таким же, как и ранее принятое.

Составление системы уравнений для электрической цепи по МУК рассмотрим на примере:

1. Выбираем произвольное направление: токов в ветвях цепи и обходов контуров.

2. Определяем число уравнений в системе. Оно равно числу неизвестных токов в ветвях данной цепи (I₁; I₂; I₃) – 3. Следовательно, в системе будет три уравнения.

3. Определяем число узловых уравнений, которое должно быть на один меньше числа узлов данной электрической цепи. Узлов в цепи 2 (А и В), тогда узловых уравнений в системе будет 1. Его составим для узла А:

4. Остальные два уравнения в системе будут контурными для контуров I и II.

Составим систему уравнений:

для узла А:

для I контура:

для II контура:

Пример:

Для выше приведенной схемы, пользуясь МУК, определить токи I₁; I₂; I₃ и установить режимы работы источников ЭДС, если известно, что:

Дано:

E₁ = 250 В 1. Подставим в систему уравнений известные ЭДС и сопротивления:

E₂ = 180 В

R₁ = 5 Ом (1)

R₂ = 4 Ом (2)

R₃ = 40 Ом (3)

I₁; I₂; I₃ –?

т.к. , подставляем (1) в (2):

Получим тогда:

(2) уравнение (2) разделим на 5.

(3)

Тогда:

(2); (2) ; (2);

(3) (3) (3)

Сложим уравнения (2) и (3), тогда получим

:

В уравнении (2) подставим значение =10А, тогда:

Ток определим, подставив в уравнение (1) значение токов и

.

Токи в ветвях цепи будут равны:

; ;

Так как ток I₂ получился со знаком «-», то это значит, что его действительное направление будет противоположно ранее принятому, т.е. ток I₂ будет ток будет направлен на встречу ЭДС Е₂. Поэтому источник ЭДС Е₂ будет работать в режиме потребителя.

Ток Е₁ получился со знаком «+», поэтому его действительное направление будет таким как показано на схеме, а это значит, что источник ЭДС Е₁ работает в режиме генератора.

Расчет электрической цепи методом контурных токов (МКТ).

Контурные токи – это токи, проходящие в отдельных контурах электрической цепи.

Сущность расчета электрических цепей МКТ состоит в том, что, пользуясь только вторым правилом Кирхгофа, составляют только контурные уравнения для всех независимых замкнутых контуров электрической цепи.

Направления контурных токов выбираются произвольно, причем, при составлении контурных уравнений, направления обходов контуров принимаются такими же, как и направления контурных токов.

Токи в отдельных ветвях электрической цепи определяются затем, как результат наложения контурных токов.

Пример:

Для ниже приведенной схемы, пользуясь МКТ, определить токи: I₁; I₂; I₃; I₄; I₄ и установить режимы работы источников ЭДС, если известно, что:

E₁ = 200 В;

E₂ = 100 В;

R₁ = 5 Ом;

R₂ = 5 Ом;

R₃ = R₄ = R₅ = 10 Ом;

I_I; I_II; I_III – контурные токи.

Подставляем в систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:

Из уравнения (1) системы выразим:

Из уравнения (2) системы выразим:

Полученные значения контурных токов и подставим в уравнение (3):

Полученное значение контурного тока подставляем в выражение (4) и (5):

Определим контурные токи:

Находим токи в отдельных ветвях цепи, как результат наложения токов:

Проверка: по первому правилу Кирхгофа для узла А уравнение токов имеет вид:

В результате расчета ни один из токов в ветвях не изменил своего знака, т.е. ранее принятые их направления совпадают с действительными.

Т.к. токи I₁ и I₂ имеют направления одинаковые со своими ЭДС Е₁ и Е₂, а не наоборот, то эти источники ЭДС Е₁ и Е₂ работают в режиме генератора.

Расчет электрических цепей методом узлового напряжения (МУН).

Такой метод расчета желательно применять для цепей имеющих два узла. Сущность этого метода расчета сводится к определению так называемого узлового напряжения.

Узловое напряжение – это напряжение между двумя узлами электрической цепи.

Определив узловое напряжение, определяют напряжение в каждой из ветвей заданной электрической цепи.

Расчет электрической цепи МУН рассмотрим на примере:

Учитывая, что напряжение на зажимах источника ЭДС, работающего в режиме генератора всегда меньше самой ЭДС на величину внутреннего падения напряжения, можно записать для приведенной на рисунке схемы следующее:

для первой ветви:

для второй ветви:

для третьей ветви:

для четвертой ветви:

где

Для узла А по первому правилу Кирхгофа можно записать:

Подставляем полученные выражения для определения токов в узловое уравнение:

тогда:

Пример:

Для выше приведенной схемы, используя МУН, определить токи I₁; I₂; I₃; I₄ и установить режимы работы источников ЭДС, если известно, что:

I₁; I₂; I₃; I₄ – ?

Тогда:

Проверка: для узла А:

(А).

В результате расчета токи I₁ и I₄ получились со знаком «-», а это значит, что их действительное направление противоположно ранее принятому.

Токи I₁ и I₂ имеют одинаковое направление со своими ЭДС Е₁ и Е₂, поэтому источники ЭДС работают оба в режиме генератора.

Понятие о нелинейных цепях. Расчет нелинейных цепей.

Нелинейная цепь – это электрическая цепь, содержащая в себе хотя бы один нелинейный элемент.

Нелинейный элемент – это элемент цепи, сопротивление которого изменяется с изменением величины тока, проходящего через него, или с изменением величины напряжения, приложенного к его зажимам.

– условное обозначение нелинейного элемента.

Расчет нелинейных цепей обычно производится графическим методом.

График, показывающий зависимость между током и напряжением для того или иного элемента цепи, называется его вольтамперной характеристикой (ВАХ).

1 – ВАХ линейного элемента с R=const;

2, 3 – ВАХ нелинейных элементов.

Примерами нелинейных элементов могут быть: обыкновенные лампы накаливания, электронно-вакуумные приборы (диоды, триоды, пентоды и т.д.), полупроводниковые диоды, транзисторы и т.п.

Сущность расчета нелинейных цепей графическим методом сводится к построению ВАХ всех элементов цепи и общей ВАХ электрической цепи.

При построении общей ВАХ учитывается способ соединения нелинейных элементов цепи, т.к. при последовательном соединении элементов цепи ток во всех элементах будет одинаковым, а при параллельном соединении их – напряжения на всех элементах одинаковы.

Построив общую ВАХ для заданного напряжения сети, определяют графически ток, падения напряжений на каждом элементе, а потом расчетным путем определяются величины сопротивлений каждого из элементов, общее сопротивление, мощности и другие интересующие параметры.

Пример:

Для двух последовательно соединенных элементов при заданном напряжении U = 220 В, определить: I; U₁; U₂; R₁ и R₂; R_об.; P₁; P₂; P_об., если для каждого из нелинейных элементов задана зависимость между током и напряжением.

нэ №1	U, B	0	20	40	70	100	130
	I, A	0	0.17	0.37	0.75	1.28	2.0

нэ №1	U, B	0	20	40	70	100	130	170	200
	I, A	0	0.1	0.2	0.4	0.65	1.0	1.6	2.1

Графически получаем для данного значения U_об. = 200 В значения:

– тока ;

– падений напряжения

Дальше определяем сопротивления R₁; R₂; R_об., исходя из закона Ома: