Свойства логарифмов.

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени. Мы ими уже пользовались:

= b

= r

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

=+

Например, ;

.

Доказательство: Введём следующие обозначения.

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

=x =bc =

=y =b =

=z =c x=y+z

Доказать x=y+z

Теорема 2.Если a,b,c-положительные числа, причём a1, то справедливо равенство

=

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Например,

Доказательство:

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

x

y b

z c x y-z

Доказать xy-z

Теорема 3.Если a и b-положительные числа, причём a1, то для любого числа r справедливо равенство

r

Например,

lg

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

Доказательство:

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

x

y b

xry

Доказать x=ry

3.Тригонометрические функции числового аргумента(определения, табличные значения).

Определение №1: Если точка М числовой окружности соответствует числу t радиан, абсциссу точки М называют синусом числа t(cost),а ординату точки М называют синусом числа t.

xcost

sint

-1cost1

-1sint1

M(x;y)

t

Определение №2: Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называется тангенсом числа t, т.е.tg t

Определение №3: Отношение косинуса t, к синусу t называется котангенсом, т.е. ctg t

Каждому действительному числу t на числовой окружности можно поставить в соответствии определённое число cost (или sint, или tgt, или ctgt), таким образом, речь идёт о четырёх тригонометрических функциях числового аргумента, где t-любое действительное число.