Вычисление коэффициента детерминированности.

Чтобы выяснить насколько точно, построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится характеристика - коэффициент детерминированности. Поясним подробно, что означает этот коэффициент и как он определяется.

Отметим, что вычисленные по эмпирической формуле при каждом значении h значения , обычно, называют теоретическими, в отличие от исходных, эмпирических данных .

Вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных, обозначив эту сумму К_ост.

(7)

Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше K_ост, тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше K_{ост ,} тем лучше выбранная функция описывает экспериментальные данные.

Введем понятие регрессионной суммы квадратов:

(8)

Эта величина K_регр характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.

В теории корреляции доказано следующее равенство:

(9)

Обозначим:, тогда, очевидно, справедливо следующее равенство: K_полн = K_регр + K_{ост .}

Коэффициент детерминированности R² определяется по формуле:

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с полной суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности R² , который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место полная корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. В противоположном случае, если коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии выбрано неудачно и не может использоваться для вычисления значений функции.

Вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений квадратичной функции от эмпирических данных в MathCad , обозначив эту сумму K_ost:

Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше K_ost тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше K_ost, тем лучше выбранная функция описывает экспериментальные данные.

Вычислим регрессионную сумму квадратов, обозначив эту сумму K_req:

Эта величина K_req характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.

Cправедливо следующее равенство:

_. K_pol:=K_ost + K_req

Коэффициент детерминированности K_determ определяется по формуле:

Вычислим коэффициент детерминированности для квадратичной функции:

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с полной суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности K_determ , который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место полная корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. В противоположном случае, если коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии выбрано неудачно и не может использоваться для вычисления значений функции.

Из полученных значений коэффициента детерминированности видно, что уравнение квадратичной функции лучше, чем уравнение линейной функции отображает зависимость экспериментальных данных.