Решение задачи в среде Turbo Pascal

Вычислим приближённые функции методом наименьших квадратов в среде программирования Turbo Pascal. Сформируем систему линейных алгебраических уравнений, и решим методом Гаусса.

Алгоритм программы Turbo Pascal для вычисления коэффициентов линейной функции, приближённой к экспериментальным данным:

Блок-схема 1

Алгоритм программы Turbo Pascal для вычисления коэффициентов квадратичной функции, приближённой к экспериментальным данным:

Блок-схема 2

Для составления СЛАУ необходимо вычислить суммы, являющиеся элементами матрицы коэффициентов.

Напишем программу, вычисляющую суммы.

Описание программы

Рассмотрим наиболее важные функции и процедуры, используемые для вычисления сумм (элементов матрицы коэффициентов) квадратичной функции:

Процедура ASSIGN используется для связывания файловой переменной с

именем файла. В общем виде записывается следующим образом:

ASSIGN (<файловая переменная>, <имя файла или логическое устройство>);

Конкретно в курсовой работе процедура ASSIGN представлена в следующем виде:

assign(fw,'gaus.txt');

assign(fm,kursovik.txt');

На языке Turbo Pascal имеются три различных оператора, с помощью которых можно запрограммировать повторяющиеся фрагменты программ.

В данной программе используется счётный оператор цикла FOR., который используется для вычисления сумм всех чисел от 1 до n. В общем виде записывается следующим образом:

FOR <параметр_цикла> := <начальное_значение> ТО <конечное_значение> DO <оператор>

FOR, TO, DO - зарезервированные слова (для, до, выполнить).

Конкретно в курсовой работе цикл FOR используется для проведения циклического процесса вычисления сумм, являющихся элементами исходной матрицы коэффициентов:

FOR i:=1 TO 25 DO

begin

a1:=a1+X1[i]; {для x(i)}

b1:=b1+Y1[i]; {для y(i)}

c1:=c1+sqr(X1[i]); {для x(i)²}

d1:=d1+X1[i]*Y1[i]; {для x(i)y(i)}

e1:=e1+X1[i]*X1[i]*X1[i]; {для x(i)³}

f1:=f1+X1[i]*X1[i]*X1[i]*X1[i]; {для x(i)⁴}

g1:=g1+X1[i]*X1[i]*Y1[i]; {для x(i)²y(i)}

end;

Решение слау методом Гаусса

Метод Гаусса – один из точных методов решения систем. Он состоит из прямого и обратного ходов. При прямом ходе матрица, составленная из коэффициентов уравнений системы, приводится к треугольному виду так, чтобы ниже ее главной диагонали оказались нули. Рассмотрим метод подробнее для системы:

(11)

Предположим, что не равно нулю. Введем (n-i) множителей

(12)

и вычтем из каждого i-го уравнения первое, помноженное на .

Обозначая (13)

легко убедится, что для всех уравнений, начиная со второго,

. (14)

Преобразованная система уравнений запишется в следующем виде:

(15)

Аналогичным образом исключим х₂ из последних (n-2) уравнений, получив новые коэффициенты. Эту операцию будем проводить пока система не примет вид:

(16)

Обратный ход. Он состоит в нахождении значений системы по формулам:

из последнего уравнения вычисляем , далее находим и из 1-го уравнения системы вычисляем:

Вывод

В курсовой работе рассмотрено два варианта теоретической зависимости момента нагрузки M [кг·м] исполнительного органа угольного комбайна от толщины среза h [см] в MathCad и на языке программирования Turbo Pascal 7.0. Вычисления независимых расчётов сходятся, следовательно, – расчёты верны.

В результате получились следующие формулы:

,

.

Давая качественную оценку коэффициентам детерминированности, опираясь на шкалу Чеддока, можно утверждать, что при линейной и квадратичной аппроксимациях наблюдается «весьма высокая» теснота связи между независимой переменной и предикатом (0,9–0,99), а это еще раз свидетельствует о правильности выбора функций для аппроксимации. При сравнении этих коэффициентов можно сказать, что уравнение линейной зависимости () удовлетворительно отображает экспериментальные данные. Но все же коэффициент детерминированности уравнения квадратичной зависимости ближе к единице () и достаточно хорошо отображает экспериментальные данные. На этом основании можно сделать вывод, что квадратичная зависимость наилучшим образом отображает взаимосвязь между M и h.