Теория вероятностей

1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях (событиях).

В отличии от события достоверного или необходимого, мы называем событие случайным, если заранее нельзя гарантировать его наступление, иначе говоря если событие характеризуется только тем, что оно возможно.

Некоторые случайные события единичны, т.е. неповторимы в своей индивидуальности. Например – землетрясение.

Но существуют и другие случайные события, которые имеют характер массовых явлений. Например – массовое производство изделий требуемого качества, многократная стрельба по цели.

Стрельба по цели из орудия является хорошей моделью, чтобы рассмотреть некоторые методические вопросы.

Пользуясь методами внешней баллистики, можно найти теоретическую траекторию снаряда. Фактическая же траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько отклонится от теоретической за счет совокупного влияния многих факторов, таких как:

• допуски в изготовлении снаряда, что повлияло на форму, вес;

• неоднородности и отклонения от номинала веса порохового заряда;

• ошибки в установке ствола орудия;

• изменения метеоусловий.

Возникают вопросы:

• какой процент выпущенных снарядов попадет в цель;

• сколько нужно выпустить снарядов для надежного поражения цели;

• какие следует принять меры для уменьшения расхода снарядов.

Чтобы ответить на эти и подобные вопросы, обычная схема точных наук оказывается недостаточной.

Практика показывает, что массовый процесс, состоящий из большого числа однородных случайных явлений, подчиняется определенным количественным закономерностям.

Вывод. Предметом изучения теории вероятностей являются количественные закономерности однородных случайных явлений массового характера.

Теория вероятностей имеет широкие практические приложения: в страховании, теории надежности, в организации контроля за качеством продукции, в военном деле, теории связи, в теории погрешностей, метрологии и т.д.

2. Из теории возникновения и развития теории вероятностей

А.А. Гусак, Е.А. Бричикова Справочное пособие к решению задач: теория вероятностей. Минск, 1999.

3. События и их вероятности. Статистическое определение вероятности

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называется событием. Будем обозначать события заглавными буквами A, B, C,…

Итак, в результате опыта событие может произойти или не произойти. Возникает необходимость как-то количественно охарактеризовать степень возможности появления или не появления события в результатах опыта. Эту количественную характеристику и принято называть вероятностью.

Дадим статистическое определение вероятности.

Допустим, что произведено опытов и в этой серии опытов события появились раз.

Частотой события будет величина

Будем производить несколько серий опытов и вычислять после завершения каждой серии частоту.

Заметим, что при малых частота неустойчива. Но при увеличении числа опытов частота становится всё более устойчивой и всё менее отклоняется от некоторого значения. Это значение, являющееся объективной числовой характеристикой явления, станет вероятностью данного события.

Таким образом, в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Если – вероятность события при небольшом , тогда

при большом .

Частота и вероятность события численно оценивается неравенствами

, ,

т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в любом опыте. Обозначим его .

В этом случае , .

Событие называется невозможным, если оно не может появиться в любом опыте. Обозначим его .

В этом случае , .

Для существования статистической вероятности события требуется:

1) Возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие наступает или не наступает.

2) Устойчивость относительных частот появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостаток статического определения – неоднозначность статической вероятности.

Пример. По данным шведской статистики частота рождения девочек за 1935г. по месяцам:

01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12
0,486	0,486	0,490	0,471	0,478	0,482	0,462	0,484	0,485	0,491	0,482	0,473

Частота колеблется около числа 0,482, которое и можно принять за приближенную вероятность рождения девочек.