12. Геометрическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

В этом случае классическое определение вероятности неприменимо и вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

На плоскости задана квадрируемая область имеющая площадь. Обозначим эту область – , её площадь . В области содержится область площади .

G

g

В область на удачу бросается точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от её формы и расположения.

Пусть – попадание брошенной точки в область , тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

.

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объёма , содержащую область объёма :

.

В общем случае понятия геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области через , а меру области .

Пусть – событие попадание брошенной точки в область , которая содержится в области . Вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой

.

Пример. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стояния первого парохода равно одному часу, а второго – двум часам.

Решение. Обозначим через и время прибытия значения пароходов. Возможные значения и :

Благоприятствующие значения :

и .

Если первый пришёл в момент , то второй должен придти через 1 час, т.е. , откуда .

Если второй пришёл в момент , то первый должен подойти через 2 часа, т.е. .

Эти неравенства определяют область (заштрихованную).

Найдём её площадь:

;

13. Метод Монте-Карло

Геометрическая интерпретация вероятности события дала толчок к появлению вычислительного метода – метода Монте-Карло, или метода статических испытаний. Суть метода поясним на следующем примере. Нужно вычислить интеграл:

,

положим . В этом случае

– площадь криволинейной трапеции.

Пусть достаточно сложная функция, первообразная которой не выражается через элементарные функции.

Рассмотрим прямоугольник высотой h и основанием , таким, что .

Пусть мы можем моделировать бросание наудачу точки в этот прямоугольник. Тогда, производя достаточно большое число испытаний, можно найти частоту попадания случайной точки в заштрихованную область. При достаточно большом числе опытов n эта частота будет близка к вероятности р – попадания случайной точки в заштрихованную область.

, откуда ,

где т – число попаданий точки в заштрихованную область. Наличие мощных компьютеров делает задачу моделирования испытаний несложной.

Этот прием можно распространить и на многомерные интегралы.

Многие задачи вычислительной математики решаются методом Монте-Карло более эффективно, чем традиционными способами.

29