- •1. Предмет теории вероятностей
- •2. Из теории возникновения и развития теории вероятностей
- •3. События и их вероятности. Статистическое определение вероятности
- •4. Пространство элементарных событий
- •5. Действия над событиями
- •6. Классическое определение вероятности
- •7. Формула сложения вероятностей для несовместных событий
- •8. Формула сложения вероятностей для общего случая
- •9. Формулы умножения вероятностей
- •10. Формула полной вероятности
- •11. Формула вероятностей гипотез (формула Байеса)
- •12. Геометрическое определение вероятности.
- •13. Метод Монте-Карло
10. Формула полной вероятности
Предположим, что событие может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместимых событий. Полная группа – это значит, что должно появиться хотя бы одно событие. Эти события называются гипотезами. Т.к. полная группа, то
,
т.е. их сумма достоверное событие.
Умножим это равенство на :
.
Произведение события на событие достоверное есть само событие
Вычислим вероятность события . Согласно теореме об умножении вероятностей:
.
Это и есть формула полной вероятности.
Пример. Имеются три одинаковые урны.
В первой: 2 белых и 1 черный шар;
Во второй: 3 белых и 1 черный шар;
В третьей: 2 белых и 2 черных шара.
Выбирается наудачу одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение: Здесь гипотезами является выбор урны
- выбор первой,
- выбор второй,
- выбор третьей.
Ясно, что . Если выбрали первую урну, то вероятность того, что вынутый шар белый равна
.
Если вторую, то
.
Если третью, то
.
,
.
11. Формула вероятностей гипотез (формула Байеса)
Имеется полная группа несовместимых гипотез , вероятности которых до опыта известности и равны:
.
Эти вероятности называют априорными.
Произведем опыт, в результате которого появилось некоторое событие .
Возникает задача: как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. речь идет о нахождении условных вероятностей.
- их называют априорные вероятности.
По теореме умножения имеем:
,
откуда
.
По формуле полной вероятности имеем:
,
тогда
.
Это и есть формула Байеса или формула вероятностей гипотез.
Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .
Примеры
1) В условиях задачи предыдущего параграфа вычислить вероятности появления белого шара из первой, второй, третьей урн.
Решение:
I. 2 белых, 1 черный
.
II. 3 белых, 1 черный
.
III. 2 белых, 2 черных
.
2) Из партии в пять деталей наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?
Решение. До опыта возможны гипотезы:
- в партии 0 бракованных изделий,
- в партии 1 бракованное изделие, k=0,1,2,3,4,5
………………………………………….,
- в партии 5 бракованных изделий.
Вероятность этих гипотез , т.к. по условию задачи равновозможно любое количество бракованных изделий.
Наблюдается событие – изделие бракованное
,
,
,
……………,
.
Эта вероятность наибольшая при k=5. Т.о. наиболее вероятная гипотеза – все пять изделий бракованные.
3) 60% изделий собирались в первые три недели месяца и 40% в последнюю неделю. Если телевизор собран в последнюю неделю, то вероятность доработать до конца гарантийного срока равна 0,7, если в первые три – до 0,95. Купили телевизор и он вышел из строя до конца гарантийного срока. Найти вероятность того, что он был выпущен в последнюю неделю.
Решение. Гипотезы: – телевизор выпущен в первые три недели,
– телевизор выпущен в последнюю неделю.
Априорные вероятности , .
Событие – выход из строя до конца гарантийного строя.
Вероятность , .
.
4) Изделие может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % изделий собирается из высококачественных деталей. Если изделие собрано из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы) за время равна 0,95. Если из обыкновенных деталей – равна 0,7. Провели испытание изделия в течение времени , и работало оно безотказно. Найти вероятность того, что изделие собрано из высококачественных деталей.
Решение. Возможны две гипотезы:
– собрано из высококачественных деталей,
– собрано из обычных деталей.
Вероятность этих гипотез до опыта:
, .
В результате опыта наблюдено событие – изделие работало безотказно время . Условные вероятности этого события при гипотезах и равны:
, .
Находим вероятность гипотезы после опыта:
.
5) Из партии в пять деталей наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?
Решение. До опыта возможны гипотезы:
– в партии k изделий бракованных.
.
.
Наблюдается событие – изделие бракованное.
,
,
,
или в общем виде: .
.
Эта вероятность наибольшая при . Т.е. наиболее вероятная гипотеза – все изделия – брак.
6) Вероятность попадания при каждом выстреле для 3х стрелков равны , , . При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
Решение. До опыта возможны гипотезы:
– промахнулся 1 стрелок ,
– промахнулся 2стрелок ,
– промахнулся 3стрелок ,
– промахнулись 1 и 2 стрелки,
– промахнулись 1 и 3 стрелки,
– промахнулись 2 и 3 стрелки,
– промахнулись 1, 2 и 3 стрелки,
– никто не промахнулся.
Введем событие – промах го стрелка.
,
,
.
.