6. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности можно сформулировать так:

Если событию благоприятствуют т случаев, входящих в полную группу из несовместимых и равновозможных событий, то вероятность события равна:

.

Пример 1. Бросается игральная кость.

– элементарные события,

– событие выпадения четного числа.

Вероятность такого события:

.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 5, а произведение 4.

Решение. Общее число случаев равно .

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы это были цифры или , отсюда .

.

Пример 3. В коробке находится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу, по одному, извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Число всевозможных случаев извлечения кубиков равно . Из этих случаев только один отвечает нашей задаче, .

.

Пример 4. Из колоды карт (36 шт.) наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз.

Решение. 3 карты из 36 можно взять количеством способов.

.

Количество случаев, благоприятствующих нашему, будет равно:

.

Объяснение. Должны взять 3 карты. 2 из них не должны быть тузами, значит, мы должны брать из 32 карт (36 – 4 туза = 32). Эти две карты можно взять способами. Из четырех тузов хотя бы один можно взять способами. Всего таких способов взять три карты, из которых один туз, будет равно .

.

Пример 5. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей – 4 стандартных.

Решение. 1) Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 по 6.

.

2) Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию – среди 6 деталей 4 стандартных.

4 стандартных из 7 можно взять способами, при этом остальные 6 – 4 = 2 деталей должны быть нестандартными. Эти 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных можно взять способами.

Число благоприятствующих исходов

.

.

Такой подсчет вероятности события называется непосредственным подсчетом. Для его успешного осуществления необходимо знать некоторые сведения из комбинаторики.

Классическое определение вероятности не требует опытных данных (это его преимущество), но оно пригодно лишь при наличии симметрии в элементарном событии.

Классическое определение вероятности ограничено и имеет ряд слабых сторон.

1) Оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же случается, что число это бесконечно. В этом случае классическое определение неприменимо и пользуются геометрическим определением.

2) Часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий – это наиболее слабая сторона классического определения.

3) Трудно указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно об этом судят исходя из соображений симметрии. Однако, на практике такие задачи встречаются весьма редко.

По этим причинам наряду с классическим определением используется и статистическое, по которому в качестве статистической вероятности события принимают частоту или число, близкое к ней.