4. Пространство элементарных событий

Часто в результате опыта может появиться одно и только одно из нескольких событий, которое на более простые не разлагается. Такие события называются элементарными.

Множество, составленное из всех элементарных событий, называется пространством элементарных событий.

Обозначения: – пространство элементарных событий,

– элементарное событие,

– элементарное событие из пространства событий .

Примеры

1. Подбрасывание монеты.

Появление герба или цифры – 2 элементарных события. Они составляют пространство элементарных событий.

2. Бросание игральной кости.

Здесь появление цифр от 1 до 6 является элементарными событиями. Всего их 6 и они образуют пространство элементарных событий.

3. Бросание 2^х игральных костей.

Здесь элементарные события более сложны:

Это: 1) появление 2^х единиц;

2) 1 и 2;

3) 1 и 3 и т.д. Здесь число элементарных событий 21.

Из элементарных событий можно строить более сложные события.

Введем некоторые определения и классифицируем события.

1) Событие называется благоприятствующим событию , если ведет к появлению .

2) Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них. Например, бросание монеты, кости.

3) Несовместимые события – такие, которые одновременно появиться не могут. Например, появление одновременно герба и цифры.

4) Несколько событий называются равновозможными, если из соображений симметрии ни одно из них не является более предпочтительным, чем любое другое.

5) Если события образуют полную группу, несовместные и равновозможные, то их называют случаями или шансами.

Если все элементарные события являются случаями, то говорят, что опыт сводится к схеме случаев (к урновой схеме).

5. Действия над событиями

1. Суммой событий и называется событие С, которое состоит в появлении или события , или события , или обоих вместе.

.

2. Произведением событий и называется событие С, состоящее в совместном появлении событий и .

.

Пример. Из колоды карт извлекается одна карта.

Пусть – появление туза,

– появление бубновой масти.

Тогда – появление либо туза, либо любой карты бубновой масти,

– появление бубнового туза.

3. Два события и называются противоположными, если для них одновременно выполняются соотношения:

– достоверное событие,

– невозможное событие.

Эти действия можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

не

Пример. По мишени производится три выстрела. Пусть – событие – попадание при i^ом выстреле. Образуем события:

1) – все три попадания

.

2) – все три промаха

.

3) – хотя бы одно попадание

.

4) – хотя бы один промах

.

5) – ровно одно попадание

.

6) – не более одного попадания

.

7) – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле

.

Алгебра событий обладает всеми свойствами алгебры множеств, такими как:

1. Коммутативность

,

.

2. Ассоциативность

,

.

3. Дистрибутивность

,

.

4. Тождественность

,

.

Теперь можно так сформулировать некоторые определения, данные выше.

События составляют полную группу событий, если их сумма есть достоверное событие.

.

События и называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие.

.

Введем еще понятие разности событий.

Разностью событий и называется событие С, которое состоит в том, что появляется событие и не появляется .

.

События и очевидно образуют полную группу, значит