3.4.2 Условие решения задачи (проверка продуктивности матрицы)

Для того чтобы система уравнений (31) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А  0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е - А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е - А) положительны и строго меньше единицы.

Очевидно, что с использованием матричных операций в Excel процедура вычислений в балансовой модели существенно упростится.

3.4.3 Реализация балансовой модели в электронной таблице

Компьютерная реализация балансовой модели в ЭТ показана в табл. 70 (режим показа формул в Excel), табл. 71 (показ формул в Calc) и в табл. 72 (режим вычислений).

В строке 11 размещены формулы для проверки продуктивности матрицы технологических коэффициентов. В ячейке А11 формула

=ИЛИ(В10>=1;C10>=1;D10>=1).

Проверяем содержимое ячеек В10:D10. Если хотя бы в одной из этих ячеек значение больше единицы (то есть сумма значений элементов хотя бы в одном столбце превышает единицу), то в ячейку А11 будет записано значение «ИСТИНА». В противном случае – значение «ЛОЖЬ»;

В ячейку С11 введена формула

=ЕСЛИ(А11=”ИСТИНА”;”Нет решения”;”Матрица продуктивна”).

Эта формула проверяет содержимое ячейки А11 и если сумма элементов хотя бы одного столбца превысила единицу, выводит сообщение “Нет решения”, в противном случае – “Матрица продуктивна”.

Таблица 70

	A	B	C	D
1	БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
2	Объём производства	Потребление отраслей
3	600	250	100	160
4	1000	150	500	0
5	800	0	300	400
6	Вычисление технологи-ческих коэффициен-тов	=В4/А$4	=С4/А$5	=D4/А$6
7		=В5/А$4	=С5/А$5	=D5/А$6
8		=В6/А$4	=С6/А$5	=D6/А$6
9	Проверка продуктивности матрицы А
10		=СУММ(В7:В9)	=СУММ(C7:C9)	=СУММ(D7:D9)
11	=ИЛИ(В10>=1;С10>=1;D10>=1)		=ЕСЛИ(А11=”ИСТИНА”;"Решения нет"; "Матрица продуктивна")
12	Единичная матрица	1	0	0
13		0	1	0
14		0	0	1
15	Вычисление Е-А	=В12-В6	=C12-C6	=D12-D6
16		=В13-В7	=C13-C7	=D13-D7
17		=В14-В8	=C14-C8	=D14-D8
18	Вычисление обратной матрицы	=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)
19		=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)
20		=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)	=МОБР(В15:D17)
21	Спрос на будущий период	2000	План выпуска продукции	=МУМНОЖ(В18:D20;В21:В23)
22		2000		=МУМНОЖ(В18:D20;В21:В23)
23		3000		=МУМНОЖ(В18:D20;В21:В23)

Таблица 71

	A	B	C		D
1	БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
2	Объём про- изводства	Потребление отраслей
3	600	250	100		160
4	1000	150	500		0
5	800	0	300		400
6	Вычисление технологиче-ских коэф-фициентов	=В3/А$3	=С3/А$4		=D3/А$5
7		= В4/А$3	=С4/А$4		=D4/А$5
8		= В5/А$3	=С5/А$4		=D5/А$5
9	Проверка продуктивности матрицы А
10		=SUM(B6:B8)	= SUM (C6:C8)		= SUM (D6:D8)
11	=OR(B10>=1;C10>=1;D10>=1)		=IF(A11=ИСТИНА;"Решения нет";"Матрица продуктивна")
12	Единичная матрица	1	0	0
13		0	1	0
14		0	0	1
15	Вычисление Е-А	=B12-B6	=C12-C6	=D12-D6
16		=B13-B7	=C13-C7	=D13-D7
17		=B14-B8	=C14-C8	=D14-D8
18	Вычисление обратной матрицы	=MINVERSE(B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)
19		= MINVERSE (B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)
20		= MINVERSE (B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)	= MINVERSE (B15:D17)
21	Спрос на будущий период	2000	План выпуска продукции	=MMULT(B18:D20;B21:B23)
22		2000		= MMULT (B18:D20;B21:B23)
23		3000		= MMULT (B18:D20;B21:B23)

Таблица 72

	A	B	C	D
1	БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
2	Объём производства	Потребление отраслей
3	600	250	100	160
4	1000	150	500	0
5	800	0	300	400
6	Вычисление технологических коэффициентов	0,417	0,1	0,2
7		0,25	0,5	0
8		0	0,3	0,5
9	Проверка продуктивности матрицы А
10		0,667	0,900	0,700
11	ЛОЖЬ		Матрица продуктивна
12	Единичная матрица	1	0	0
13		0	1	0
14		0	0	1
15	Вычисление Е-А	0,583	-0,1	-0,2
16		-0,25	0,5	0
17		0	-0,3	0,5
18	Вычисление обратной матрицы	2,113	0,930	0,845
19		1,056	2,465	0,423
20		0,634	1,479	2,254
21	Спрос на будущий период	2000	План выпуска продукции	8619,72
22		2000		8309,86
23		3000		10985,92