Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры по матем.docx
Скачиваний:
7
Добавлен:
24.12.2018
Размер:
2.85 Mб
Скачать

Вопрос №1

Введение

Вероятность – количественная мера возможности наступления количеств событий.

Каждый эксперимент заканчивается каким-то определенным результатом, который не всегда возможно заранее предугадать. Для того, чтобы формально описать некоторый эксперимент, нужно указать все возможные варианты результатов, которыми этот эксперимент может закончиться. В теории вероятностей такие результаты называются исходами. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов. Предполагается, что эксперимент может закончиться одним и только одним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходы можно перечислить:

= 1 , 2, ... n, или = 1, 2 , ....

Такое пространство элементарных исходов называется дискретным.

Простейшим пространством элементарных исходов является такое пространство, в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента:

1) равновозможны;

2) взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойти один и только один из указанных исходов),

3) все исходы образуют полную группу событий (т.е. никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов (или симметричным пространством).

ПРИМЕР 1. При одновременном бросании двух игральных костей элементарные исходы представляют собой пары (x, y), где x - число очков, выпавшее на первой кости, а y - число очков на второй кости. Всего таких пар - 36:

1. Вероятность как событие

В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исхода считается заданной и обозначается Р(i), или просто рi , причем всегда рi 0

(или), т.е. сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице. Элементарные исходы мы называем элементарным событием.

Событием называется любое подмножество, состоящее из элементарных исходов пространства элементарных событий . Говорят, что «событие А произошло», если эксперимент закончился одним из элементарных исходов iА.

Событие А, состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в А, называется противоположным событием к событию А. Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно что Р(А) + Р(А) = 1. Это равенство используется для вычисления вероятности события А в случае, когда вероятность противоположного события известна или легко может быть найдена, тогда Р(А) = 1 - Р(А).

Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важно определить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующее пространство элементарных событий и выделить в нем требуемое событие A. Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в и A.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение 2. События U1, U2, ..., U, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Вопрос №2

1. Случайные события. Частота. Вероятность.

   Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).     Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

    Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.

    События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, ... .

    Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.     Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n

    Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.     Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна

Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

    Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.     Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

    Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.     Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A.

    Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.

    Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С.

    Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.

    Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С.

    Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.

   Рассмотрим следующий пример. Будем следить за движением какой-нибудь определенной молекулы газа, заключенного в некоторый объем. Внутри этого объема выделим объемы и , частично перекрывающие друг друга (рис. 1). Пусть событие A — попадание молекулы в объем , событие В — попадание молекулы в объем . Совмещением событий A и В является попадание молекулы в общую часть объемов и . Если объемы и не имеют общих точек, то ясно, что события A и В несовместны. Объединением событий A и В является попадание молекулы или только в объем или только в объем , или же в их общую часть.

 

Вопрос №3

(1)Событие (А, В, либо А1, А2)- всякое явление которое происходило, происходит и будет происходить. Рассмотрим некоторый фиксированный комплекс условий G, и связанную с ним систему событий S:A,B,C,D, каждое из которых может произойти или не произойти при реализации комплекса условий G, в дальнейшем реализацию комплекса условий будем называть испытанием или опытом. В связи с различными испытаниями м/у событиями A,B,C,D возникают следующие соотношения:

  1. А влечет В, если при каждом испытании, изменение А, влечет изменение В

  2. Если , а , то говорят, что события эквивалентны м/у собой

  3. Событие состоящее в наступлении и события А и события В назывется произведением событий А и В

  4. Событие состоящее в наступлении хотя бы одного события А или В, или и А и В, называется суммой событий

  5. Событие с необходимостью наступающее при каждом испытании называется достоверным событием (U), событие не наступающее не при одном испытании называется невозможным (V)

  6. События и А называются противоположенными и +А =U *А=V

  7. Два события А и В –несовместимы если их совместное событие невозможно В*А =V

  8. Полная группа событий, когда и

А*А=А, А+А=А

Вопроса№4