Вопрос26

Числовые характеристики системы случайных величин

Пусть у нас имеется случайный вектор Х = (X, Y), рас­пределение которого известно, т. е. известна табл. 2.5 или плотность распределения р(х, у). Тогда можем найти ма­тематические ожидания для случайных величин X и Y. Пусть М(X) =tn_x, M(Y) =т_у, тогда вектор (т_х, т_у) —

это центр распределения случайного вектора X. По извест­ному закону распределения можно найти и дисперсии со­ставляющих вектора X. Пусть D(X)=Ox, D(Y)=al. Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y недостаточно полно характеризуют случай­ный вектор X, так как не выражают степень зависимости доставляющих вектора. Эту роль выполняют корреляцион­ный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом Kxy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения от-

Вопрос№27

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.

1. Введение.

   В математическом анализе мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значени. одной их них соответствует единственное значение другой.    Однако часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такая зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда прочих меняющихся факторов, среди которых могут быть и общие для обеих величин.    Так, например, с увеличением высоты сосны увеличивается диаметр ее ствола. Однако если исследовать эту зависимость по опытным данным, то может оказаться что для отдельных сосен с большей высотой диаметр ствола окажется меньше, чем для сосен с меньшей высотой. Это объясняется тем, что диаметр ствола сосны зависит не только от ее высоты, но и от других факторов (например, от свойств почвы, количества влаги и т.д.).    Это обстоятельство наглядно видно из таблицы, в которой приведены значения диаметров ствола сосны в зависимости от ее высоты. В каждой клетке этой таблицы помещено число сосен, имеющих соответствующие диаметр ствола и высоту. Так, например, количество сосен с высотой 24 м и с диаметром ствола 26 см равно двум.

       Две случайные величины и находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению одной из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой.    Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами вводится понятие коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции.

   Как мы знаем, если и - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания (§ 4, п. 1)

(72

   Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,

   Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую соотношением.

(73

   и называемую коэффициентом корреляции.

   Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции.    Если и - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.    Это свойство непосредственно вытекает из соотношений (72) и (73). Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если , то отсюда еще не следует, что и независимы.    Заметим без доказательства, что . При этом если , то между случайными величинами и имеет место функциональная, а именно линейная зависимость.

Вопрос №28

Вопрос №29

наивероятнейшим числом наступления события А в n независимых испытаниях называется такое число m0, вероятность которого, вычисленная по формуле бернули дольше или по крайней мере не меньше всех остальных исходов

_{Исходя из определения, можно заметить, что если} m0 наивероятнейшее число, то m0-1 и m0+1 – соседние исходы => решив ур-ния и относительно m0 получим и =>

вопрос№30       Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить .

   Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

и

 

Значения	x1	x2	...	xn
Вероятности p(xi)	p1	p2	...	pn

    Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости.

Вопрос№32

вопрос№33

Нормальное распределение.

   Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид

(28)

   где a - любое действительное число, а >0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x) [см. формулу (22)], имеем

   График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y=. График I соответствует значениям a=0, =1, а график II - значениям a=0, =1/2.  

   Покажем, что функция удовлетворяе условию (24), т.е. при любых a и выполняется соотношение

   В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

   В силу четности подинтегральной функции имеем

   Следовательно,

   Но,

   В результате получим

(29)

   Найдем вероятность . По формуле (23) имеем

   Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда , и

(30)

   Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (30) вводится функция

(31)

   называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (31) получим

   Итак,

(32)

   Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.    1°. Ф(0)=0    2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).    3°. Ф(-x)=-Ф(х), т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.    График функции Ф(х) изображен на рис. 12.  

   Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (32).    Пусть >0. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

   Так как неравенство равносильно неравенствам , то полагая в соотношении (32) , получим

   Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем

Вопрос №34

Вопрос №35

Нормальный закон распределения задается плотностью распределения вида исследуем вид кривой распределения

1. ОДЗ x любое

2.

3. =0 =>x-a=0=>x=a-стационарная точка

Выясним смысл параметров а и σ

Покажем, что а=MX

Вопрос№36

Га́мма распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

где функция Γ(k) имеет вид

и обладает следующими свойствами:

• ;

• ;

константы k,θ > 0. Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами k и θ. Пишут .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвига.