Плотность вероятности

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть m обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть - произвольное измеримое пространство, а μ и ν - две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная измеримая функция f, позволяющая выразить меру ν через меру μ в виде ν(A) = ∫ fdμ, A

то такую функцию называют плотностью меры ν по мере μ, или производной Радона-Никодима меры ν относительно меры μ, и обозначают

.

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если f является плотностью вероятности и f(x) = g(x) почти всюду относительно меры Лебега, то и функция g также является плотностью вероятности .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если f(x) — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что f(x) является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). X индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины X.

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины X. Сама случайная величина X называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.

Замечания

• Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.

• Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины X непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:

.

В одномерном случае:

.

Если , то , и

.

В одномерном случае:

.

Вопрос№21

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.    В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.    1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.    Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:    m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,    m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,    Здесь m₁+m₂+...+m_n=N. Найдем среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

   Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х₁, х₂, ..., х_n, c соответствующими вероятностями p₁=m₁/N, p₂=m₂/N, ..., p_n=m_n/N, так как вероятность p_i появления подшипника с внешним диаметром x_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

   Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

    Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

(39)

   Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.    Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

   При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.    Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.    1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.    Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому    2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

   Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

   3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

   4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

Вопрос№23

Вопрос№24