- •1. Случайные события. Частота. Вероятность.
- •Пространство элементарных событий, операции над событиями.
- •Классическая формула подсчета вероятностей. Комбинаторика.
- •Плотность вероятности
- •Свойства плотности вероятности
- •Плотность случайной величины
- •Замечания
- •Вопрос26
- •1. Введение.
- •Моменты
- •Свойства гамма-распределения
- •Связь с другими распределениями
- •Моделирование гамма-величин
- •Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Определение
- •Свойства распределения Стьюдента
- •Моменты
Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей гамма-распределение, имеют вид
,
.
Свойства гамма-распределения
-
Если — независимые случайные величины, такие что , то
.
-
Если , и a > 0 — произвольная константа, то
.
-
Гамма-распределение бесконечно делимо.
Связь с другими распределениями
-
Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:
.
-
Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то
.
-
Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:
.
-
Согласно центральной предельной теореме, при больших k гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:
при .
-
Если X1,X2 — независимые случайные величины, такие что , то
.
Моделирование гамма-величин
Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.
Используя тот факт, что распределение Γ(1,1) совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то − lnU˜Γ(1,1).
Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:
где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.
Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.
-
Положить m равным 1.
-
Сгенерировать V2m − 1 и V2m — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
-
Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
-
Положить . Перейти к шагу 6.
-
Положить .
-
Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
-
Принять ξ = ξm за реализацию Γ(δ,1).
Подытожим:
где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.
Вопрос №37
ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. 1. Леммы Чебышева.
В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву* 1. Леммы Чебышева.
Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда
Доказательство: Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x1, x2, ..., xn, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем
где суммирование распространено на все значения xi, большие или равные единице. Но для sub>, очевидно,
Поэтому
(50) |
где xi<1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности . Поэтому
(51) |
Последняя сумма распространена на все значения xi, принимаемые учайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:
Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем
Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности
(52) |
Неравенство (52) называется неравенством Чебышева. Доказательство: Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству
то
Случайная величина
неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,
так как
Поэтому
|
Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то
Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим
Вопрос №38
Теорема. Каково бы ни было е>0 для любой случайной величины X, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
Вопрос№39
Вопрос №40
Вопрос№41
Вопрос№42