10. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера nxn ранга n? Ответ обоснуйте.
Ранг матрицы – число линейно независимых столбцов или строк, содержащихся в данной матрице.
Число ненулевых диагональных элементов равно 2, следовательно, r(B)=2.
12. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка 3. Приведите примеры таких матриц. Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной.
Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.
Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.
|А|
=
= -1
0 – невырожд.
Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.
(ai,aj)=∑k=1nakiakj= δij
Пусть A - ортогональная матрица.
AT=A-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.
ATA=E (по определению), A-1A=E.
А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.
13.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что система совместна тогда и только тогда, когда основной ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:
A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2
……………………………………….
Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm
Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Система линейных алгебраических уравнений AX = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы, по теореме Кронекера-Капелли.
14.Сформулируйте определение несовместной системы линейных уравнений. Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:
A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2
……………………………………….
Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm
Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Для любой системы возможны только три случая:
1) система не имеет ни одного решения;
2) система имеет единственное решение;
3) система имеет бесчисленное множество решений.
АХ = 0.
х1 х2 х3 х4 х5 0
1 0 0 a d 0
0 1 0 b e 0
0 0 1 c f 0
Здесь будет 3 базисных переменных, напр. х1, х2, х3, а остальные две свободные (х4,х5) которые могут принимать любые значения, поэтому данная СЛАУ будет иметь бесконечно много решений.
15.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что совместная система линейных уравнений имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Приведите примеры.
Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:
A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2
……………………………………….
Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm
Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной и неопределенной когда она имеет бесконечно много решений.
Совместная система лин-х уравнений имеет одно решение в случае, когда кол-во ур-й совпадает с кол-вом переменных. Имеет бесконечно много решений, когда кол-во переменных превышает количество ур-й и когда кол-во уравнений совпадает с кол-вом переменных, и при этом в процессе элементарных преобразований строк матрицы возникают нулевые строки.