44. Дайте определение фундаментального набора решений однородной слау

Базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальным набором решений. Чтобы построить фундаментальный набор решений СЛАУ надо решить ее методом Гаусса, найти ее общее решение-выразить базисные переменные через свободные

После решения СЛАУ методом Гаусса мы получаем общее решение однородной СЛАУ, которая содержит ряд переменных для получения фундаментального набора решений следует подставить в общее решение единицы и нули.

47. Могут ли фундаментальные наборы решений однородной слау различаться а) числом решений? Ответы обосновать.

Базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальным набором решений. Чтобы построить фундаментальный набор решений СЛАУ надо решить ее методом Гаусса, найти ее общее решение-выразить базисные переменные через свободные

После решения СЛАУ методом Гаусса мы получаем общее решение однородной СЛАУ, которая содержит ряд переменных для получения фундаментального набора решений следует подставить в общее решение единицы и нули.

Не могут, т.к. фундаментальный набор решений является базисом однородной системы координат, который состоит из S векторов, они меняться не могут.

52. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Определение 1: Число  называется собственным значением квадратной матрицы А порядка nxn, если найдется ненулевой вектор , такой, что выполняется равенство

Рассуждения для собственных векторов:

Получена система линейных однородных уравнений, которая должна иметь ненулевое решение, значит

Обозначим эти равенства (4) и (5) соответственно.

Если раскрыть определитель из равенства (5), то получится многочлен n-ой степени относительно . Этот многочлен будем называть характеристическим уравнением матрицы А.

Определение 2: Уравнение (5) называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения.

Определение 3: Ненулевой вектор называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка n, принадлежащим ее собственному значению , если является решением системы (4). Множество всех собственных векторов, принадлежащих собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы

57. Как связаны собственные значения кв. матриц А и А^T.

Собственные значения матриц А и А^T совпадают. Док-во корни характеристического уравнения – λ. |A- λE|=0, |A(t)- λE|=0, |A(T)- λE|=0 харктеристическое уравнение от А(Т). решения этого уравнения явл. Собственные значения А(Т).

63.Матрица линейного оператора.

Выберем в пространстве L базис e₁, e₂ …, e_n. x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n - разложение произвольного эл-та x по данному базису. y=Ấ(x). В силу линейности оператора Ấ получаем y=Ấ(x) =x₁Ấ(e₁)+…+x_nẤ(e_n).

Поскольку Ấ(e_i) также эл. из L, то его можно разложить по этому базису. Ấ(e_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_nie_n ( i=1,2,3…n). Тогда Ấ(x)=x₁(a₁₁e₁+a₂₁e₂+…a_n1e_n)+ x₂(a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_n2e_n)+…+x_n(a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_mne_n)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+ +…+a_1nx_n)e₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n)e₂+…+(a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n)e_n. С другой стороны эл. y=Ấ(x) можно разложить в данном базисе

y=Ấ(x)=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n. Ввиду единственности разложения вектора по базису:

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n

y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n

y=x₁A₁+…+x_nA_n. A_i=Ấ(e_i) - столбец. A_e=(A₁… A_n)

Матрица A_e=(a_ije) (i,j = 1,2,..,n) называется матрицей оператора Ấ в базисе e₁, e₂,… e_n. Таким образом каждому линейному оператору соотв. матрица в данном базисе. Связь между эл. x и его образом y, равному Ấ(x), можно выразить в матричной форме уравнением: Y=AX. X=(x₁, x₂,…, x_n)^T

64. Линейное преобразование.

Линейное преобразование – это отображение линейного пространства У в пространство V с помощью операции А ставящая в соответствие каждому элементу из У элемент из V. Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.