24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.

Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Примеры линейных пространств:

1) пространство Rⁿ;

2) множество решений однородной системы линейных уравнений;

3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;

4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;

5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;

6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.

25. Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису.

Система векторов из Rⁿ называется базисом этого пространства, если:

1)Система ЛНЗ;

2) Любой вектор из Rⁿ можно представить как линейную комбинацию векторов этой системы.

Теорема о базисе. Любая ЛНЗ система векторов из Rⁿ явл. базисом Rⁿ, когда число векторов этой системы равно n. Док-во. Пусть: { в₁, в₂, …, в_m } ЛНЗ система в Rⁿ, докажем, что m=n 1) m>n. Получим, что система ЛЗ(по теореме об ортогональном векторе), что противоречит условию; 2) m<n Пусть{ в₁, в₂, …, в_m }- базис Rⁿ, то для любого Х ЄRⁿ х=х₁в₁+х₂в₂+…+х_mв_m; m<n,то по теореме о существовании ортогонального вектора есть ненулевой вектор, кот. Ортогонален любому вектору этой системы (у_╨в_i, i=1,…,n), то ув_i=0; у ЄRⁿ, тогда у=у₁в₁+у₂в₂+…+у_mв_m, умножим это рав-во на само себя уу=( у₁в₁+у₂в₂+…+у_mв_m)у=у₁(в₁у₁)+у₂(у₂в₂)+…+у_m(у_mв_m)=0; уу=0, то у=0, а по усл теоремы у≠0, противоречие, значит m<n неверно, тогда m=n.

26. Дайте определение линейного подпространства в Rⁿ. Какие из множеств, образованных всевозможными векторами (х₁, х₂) из R² такими, что а) х₁ – х₂ = 0, б) х₁ - 2х₂ = 1, в) х₁ * х₂ > 0 являются подпространствами, а какие нет? Ответ обоснуйте.

Опр. М назыв. Подпр-вом пр-ва L, если М замкнуто относит. слож.и умнож. на число, т.е. для любых эл-тов x и y из М и любого числа а х+у принадл М и ах принадл М.

Теор. Подпр-во является линейным пр-вом

Док-во: Т.к. пр-во замкнуто и принадл. L, то в нем выполн. все аксиомы линейного пр-ва. Аксиомы 3 и 4 выполнены также в силу 4-х теорем.

Пусть в пр-ве L выделены 2 подпр-ва M и N, тогда М Ụ N необязат. будут явл. подпр-вами.

Пример: 2 прямые на пл-ти.

Теор. Пересечение М и N подпространство.

Опр. М+N=х₁+х₂│х₁ принадл. M, х₂ принадл. N

Теор. M+N – подпр-во пр-ва L.

Док-во: Пусть х принадл. M+N и у принадл. M+N, т.е. х=х₁+х₂, у=у₁+у₂, х₁ и у₁ принадл. М. х₂ и у₂ принадл. N. х+у=(х₁+у₁)+(х₂+у₂) где х+у принадл. M+N т.к. х₁+у₁ принадл. M, а х₂+у₂ принадл. N. Аналогично доказывается, что ах принадл. M+N.

Пример: В R³ суммой двух одномерных пр-ств (прямых) явл. двумерное пр-во (плоскость, содерж. данные прямые).

27. Дайте опред. Общего решения неоднородной системы лин. Уравнений. При каких условиях множество решений системы лин. ур-й Ах=b образует лин. простр-во? Ответ обоснуйте.

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения = 0. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Общее решение однородной системы линейных уравнений представляет собой линейно зависимые вектора.

Общее решение СЛАУ-все пространство решений однородной СЛАУ. Выразив базисные неизвестные через свободные, получается общее решение системы.