- •7. Как определяется операция умножения матрицы а на число λ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и λА размера nxn? Ответ обоснуйте.
- •8. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример применения правила Крамера для системы линейных уравнений от трех переменных.
- •9. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.
- •10. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера nxn ранга n? Ответ обоснуйте.
- •17. Докажите что множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Как найти размерность этого пространства.
- •24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.
- •25. Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису.
- •31. Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •33. Дайте определение линейного пространства. Докажите, что симметрические матрицы порядка 2 образуют линейное пространство. Найдите его размерность.
- •39. Дайте определение ортонормированной системы векторов.
- •42. Дайте определение скалярного произведения в Rn. Неравенство Коши-Буняковского.
- •44. Дайте определение фундаментального набора решений однородной слау
- •47. Могут ли фундаментальные наборы решений однородной слау различаться а) числом решений? Ответы обосновать.
- •52. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •63.Матрица линейного оператора.
- •68. Квадратная матрица a называется ортогональной
- •105. Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой икоторых до 2 заданных точек f1 и f2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
- •106. Гипербола
- •108. Кривые второго порядка.
- •111. Парабола
- •112. Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой икоторых до 2 заданных точек f1 и f2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
- •117. Выпуклое множество. Выпуклая область
- •125. Сформулируйте основные теоремы двойственности. Как получить решение двойственной задачи из последней симплексной таблицы исходной задачи?
- •122. Какими условиями связаны симметричные взаимно двойственные злп?
31. Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
Линейным подпространством пространства V называется произвольное его подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число. Для системы векторов а1, а2,…аs€V множество всевозможных линейных комбинаций
а=к1а1+к2а2+…+кsаs является линейным подпространством и называется линейной оболочкой или подпространством, порожденным этой системой векторов.
Линейно независимая система векторов а1, а2,…,аs€V называется базисом линейного пространства V, если линейная оболочка векторов системы совпадает с V.
В этом случае говорят, что размерность пространства V равна s и записывают так: dimV=s. В частности, dim Rn=n. Размерность линейной оболочки системы векторов а1, 2а, …,аs €V называется рангом этой системы.
33. Дайте определение линейного пространства. Докажите, что симметрические матрицы порядка 2 образуют линейное пространство. Найдите его размерность.
Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число:
а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a , наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, k(a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам. Примерами лин постранств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rn, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х1,х2,х3,х4) в R4, выделенное условием V={x€R4|x1+x2+x3+x40}.
38. Какие векторы называются ортогональными? Докажите, что ортогональное дополнение к ненулевому вектору v в R5 является линейным подпространством размерности 4.
Два вектора aˉ и bˉ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. аˉbˉ, если аˉbˉ=0.
39. Дайте определение ортонормированной системы векторов.
Ортонормир. вектора – длина которых равна 1, их скалярное произведение равно нулю. Базис Е1, Е2, …. Еn евклидова н-мерного пространства наз. ортонорм., если он образ. ортогональный базис и все его вектора нормированны, ПРИМЕР а=( 0,1) б=(1,0).
42. Дайте определение скалярного произведения в Rn. Неравенство Коши-Буняковского.
Скалярным произведением двух векторов a=(a1 , a2 , ..., an ) и b=(b1, b2, ..., bn) называется число (a, b)=a1b1+a2b2+ ...+anbn.
Основные свойства скалярного произведения векторов: 1.)=(b, a). 2. (ka, b)=k (a, b) 3. (a, b+ c)=(a, b)+ (a, c) 4. (a, a)> 0, если а= 0 и (a, a)= 0, если a=0
cos.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в|
Равенство справедливо при векторе а0 и векторе в0. Однако формула не совсем проста. Уравнение cos = с, (где - неизвестное число) имеет решение только при –1c1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1. Для этого имеется Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов a и b из Rn справедливо неравенство (a,b)2<(a,a)* (b,b).