dolgih
.pdf122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 12. Функциональные ряды |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример. Показать, что ряд |
|
x |
|
|
|
сходится равномерно на |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[– 1; 1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Для значений |
x [ 1, 1] |
очевидно |
|
xn |
|
|
|
1 |
|
|
. Ряд |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
n |
|
n |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по при- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 1 n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
знаку Вейерштрасса ряд |
x |
|
|
|
сходится равномерно на [–1; 1] . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках.
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
|
|
, |
( , |
) . |
21. |
|
|
|
|
, |
[–3; 3]. |
||||||||||
|
|
n |
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e |
n2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
22. |
|
|
|
|
|
, |
( , |
) . |
23. |
|
|
|
|
|
|
, [0; ) . |
||||||
|
n2 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 nx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x 2)n ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, [0; 4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.3.СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Теорема 2. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные в некотором промежутке X и ряд сходится в этом промежутке равномерно, то сумма его S(x) – функция также непрерывная в X.
Теорема 3. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные в X и ряд сходится равномерно в X, то ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [a, b] X . Иначе говоря:
|
b |
b |
|
|
|
|
b |
S(x) fn (x) S(x)dx |
fn (x) dx |
fn (x)dx . |
|||||
n 1 |
a |
a |
n 1 |
|
n 1 a |
||
Теорема 4. Если: |
|
1) ряд (12.1) сходится в некотором проме- |
жутке X к S(x); 2) n fn (x) – функции непрерывные в X; 3) ряд
f ( x) сходится равномерно в X, то ряд (12.1) можно почленно
n
n 1
12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов |
123 |
|
|
дифференцировать в каждой точке промежутка X, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S (x) fn (x) S (x) |
fn (x) |
|
fn (x) . |
|||||||||
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
Пример. Исходя из соотношения |
|
|
|
|
, найти сумму |
||||||||
xn 1 |
n 2n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 1 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как члены ряда |
|
|
непрерывны в [2, |
) и ряд |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
n 1 |
||||||||||||
|
|
|
n 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(теорема 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. ряд |
|
|
|
|
|
мажорируем сходящимся |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
рядом |
|
|
|
|
|
, |
то ряд |
|
|
|
|
|
можно почленно интегрировать на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[2, ) , т.е. менять местами символы и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1/ x |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx ln |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
xn 1 |
|
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 n 2n |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ln 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ln 1 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Степенным рядом называется ряд вида
|
|
|
с0 с1x c2 x2 |
... cn xn ... cn xn , |
(12.3) |
n 0
т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (12.3) сходится в интервале ( R, R) . R называется ра-
диусом сходимости ряда (12.3). Если R = 0, то ряд (12.3) сходится только в точке x = 0. Если R , то ряд (12.3) сходится на всей числовой оси. Если 0 R , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0 .
Более общий вид степенного ряда:
с с (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x )n ... . |
(12.4) |
|
0 1 |
0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки x x0 : (x0 R, x0 R) .
124 |
Г л а в а 12. Функциональные ряды |
|
|
Теорема 5. На всяком отрезке [ , ] ( R, R) ряд (12.3) сходится равномерно.
Теорема 6. Степенной ряд (12.3) можно почленно интегрировать на любом отрезке [a, b] ( R, R) .
|
|
|
b |
|
b |
|
Таким образом, если S(x) cn xn , то |
S(x)dx |
cn xndx |
||
|
|
n 0 |
a |
n 0 a |
|
|
c (bn 1 an 1) |
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 7. |
Ряд (12.3) можно почленно дифференцировать в |
каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(x) cn xn S (x) (cn xn ) |
|
ncn xn 1 . |
||||||||||
n 0 |
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
|
||||
Пример. Найти сумму ряда x |
x2 |
|
x3 |
|
... |
xn |
... . |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
n |
|
|||||
Обозначим сумму этого ряда через S(x) : |
|
|||||||||||
S(x) x |
x2 |
|
x3 |
... |
xn |
|
... . |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Интервал сходимости этого ряда (–1; 1). На основании теоремы 7 его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала
(–1; 1):
S (x) 1 x x2 ... xn 1 ... .
Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, откуда S(x) |
dx |
|
|
|
|
q |
|
|
|
x |
|
1, то S (x) |
|
|
|
|
ln(1 x) c . Зная, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
что S(0) 0, получим |
0 ln(1 0) c c 0 S(x) ln(1 x) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти сумму ряда 1 3x2 5x4 |
... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ... . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Обозначим сумму ряда через S(x) : |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) 1 3x2 |
5x4 ... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ... . |
Этот ряд сходится в интервале (–1; 1). На основании теоремы 6 его можно почленно интегрировать на любом отрезке [0; x] ( 1; 1) .
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S(u)du |
|
( 1)n 1(2n 1)u2n 2 |
|
|
||||||||
|
du |
|
|
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
x |
||
( 1)n 1(2n 1) u2n 2du |
( 1)n 1 |
u2n 1 |
|
||||||||||
|
|||||||||||||
n 1 |
|
0 |
|
n 1 |
|
|
|
2n 1 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 1)n 1 x2n 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций... |
125 |
|
|
Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для
|
|
x |
|
|
|
x |
|
которой a x; q x2 |
. Таким образом, |
|
S(u)du |
|
. Продиф- |
||
|
|
||||||
|
|
||||||
1 |
|
|
1 x2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
/ |
S(x) (произ- |
|||
ференцируем обе части этого равенства: |
|
S(u)du |
|||||
|
|
|
0 |
x |
|
|
водная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования
|
x |
|
|
|
1 x |
2 |
x 2x |
|
1 x |
2 |
|
|
|||||||
по этому пределу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
2 |
(1 x |
2 |
|
2 |
(1 x |
2 |
|
2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
Итак, |
|
1 3x2 5x4 ... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ... |
|
1 x2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
||||
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти сумму ряда в № 25 – 31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
25. x |
x5 |
... |
|
x4n 3 |
... . 26. |
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
... ( 1)n 1 |
xn 1 |
|
... . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4n 3 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
||||||||||||||||||
|
|
( 1) |
n |
(n 1)x |
n |
|
|
|
|
|
2 |
n)x |
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
27. |
|
|
. |
28. |
(n |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
30. (2n2 2n 1)xn . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(4n 1)(4n |
3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31. Исходя из соотношения xndx |
|
|
|
|
, найти сумму ряда: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
( 1) |
|
, |
|
|
|
б) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
3n 2 |
|
|
|
|
n 1 |
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
32. Доказать, |
|
что |
|
|
ряд |
sin n2 x |
|
|
сходится равномерно на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ; |
) , но что его нельзя дифференцировать ни в какой точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этого интервала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.5. |
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
И МАКЛОРЕНА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
|
y f (x) имеет в т. x0 |
||||||||
ности производные любого порядка. Ряд |
||||||||||
f (x ) |
f (x0 ) |
(x x |
) |
f (x0 ) |
(x x )2 ... |
|||||
|
|
|
||||||||
0 |
1! |
|
0 |
2! |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(n) |
(x0 ) |
|
||
|
|
|
|
|
f |
|
|
(x x0 )n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
n! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и некоторой ее окрест-
f (n) (x0 ) (x x0 )n ... n!
(12.5)
126 |
Г л а в а 12. Функциональные ряды |
|
|
называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x0 ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию f (x), т.е.
|
(n) |
(x0 ) |
|
|
|
f |
|
(x x0 )n f (x) , |
|
|
n! |
|||
n 0 |
|
|||
|
|
|
то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (или по степеням x x0 ). Если x0 = 0, то ряд Тейлора имеет вид
|
f (0) |
|
f (0) |
|
f (n) (0) |
|
f (n) (0) |
|
||
f (0) |
|
x |
|
x2 ... |
|
|
xn ... |
|
xn |
|
1! |
2! |
n! |
n! |
|||||||
|
|
|
n 0 |
|
||||||
и называется рядом Маклорена. |
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 8. Для того чтобы функция |
y f (x) была разложима |
в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , необходимо и достаточно,
чтобы lim Rn (x) 0 .
n
Rn (x) – остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид
R (x) |
f (n 1) |
( ) |
(x x )n 1 |
, |
x (x x ), 0 1 |
|
|
|
|||||
n |
(n 1)! |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Теорема 9. Если f (x) имеет в некотором промежутке, содер-
жащем точку |
x0 , производные всех порядков, для которых |
||||
|
f (n) (x) |
M , то |
R (x) 0 |
при n и, значит, |
f (x) разложима в |
|
|
|
n |
|
|
этом промежутке в ряд Тейлора.
То же самое в символической записи: |
|||||||||
x O(x0 , ) |
( n) |
|
|
f (n) (x) |
|
M lim Rn (x) 0 |
|||
|
|
||||||||
|
(n) |
(x0 ) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) |
f |
|
(x x0 )n . |
||||||
|
n! |
||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При разложении f (x) |
в ряд Тейлора применяют следующие |
приемы.
1. Непосредственное разложение f (x) в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a) формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят f (n) (x) для любых n, вычисляют f (n) (x0 ) и подстав-
ляют найденные значения в (12.5); б) находят область сходимости ряда (12.5); в) выясняют, для каких значений x из области сходимос-
ти ряда lim Rn (x) 0 , т.е. для каких x имеет место равенство: |
||||
n |
|
|
|
|
|
(n) |
(x0 ) |
|
|
f (x) |
f |
|
(x x0 )n . |
|
|
n! |
|||
n 0 |
|
|||
|
|
|
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций... |
127 |
|
|
2. Использование готовых разложений:
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ex |
|
|
|
|
1 x |
|
|
... |
|
|
|
|
..., |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n! |
2! |
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
..., |
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
..., |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ln(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
..., 1 x 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(m |
1)(m 2)...(m n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 x)m 1 |
xn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=1 mx |
m(m 1) |
x2 |
|
|
m(m 1)(m 2) |
x3 ..., |
|
|
x |
|
1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xn 1 x x2 |
x3 |
|
..., |
|
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. |
|
Разложить |
|
|
|
y sin |
|
x |
|
в ряд Тейлора в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точки x = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решим эту задачу двумя способами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
способ. Используем непосредственное разложение функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в ряд Тейлора: |
|
а) |
f (x) sin |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
…………………………………………………… |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
(n) |
(x) |
|
|
|
|
n |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………………………………………………
Вычислим найденные производные в точке x = 2:
f (2) 1; |
f (2) 0 |
f |
|
|
|
2 |
f (2) 0; |
f |
IV |
|
4 |
|||||
(2) |
; |
|
(2) |
|
, …, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
f |
(n) |
(2) |
|
|
n |
|
(n 1) |
|
,… . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 12. |
Функциональные ряды |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Составим формально ряд Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(x 2) |
2 |
|
|
|
|
4 |
(x |
2) |
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
sin |
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
|
... |
|||||
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
(x 2)2 |
4 |
(x 2)4 |
|
|
|
|
n |
2n |
|
(x 2)2n |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|
(12.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
2! |
|
|
|
4 |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
б) Найдем область сходимости ряда (12.6), используя признак |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(x 2)2n 2 (2n)! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
2 |
lim |
|
|
|
|
0 1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
(x |
2) |
2n |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n (2n 1)(2n 2) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(2n 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (12.6) сходится на всей числовой оси: x .
|
|
в) Докажем, что при всех x ряд (12.6) сходится к sin |
x |
, для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
чего достаточно показать, что Rn (x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 при n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Rn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
sin (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
. Как результат решения задачи можем записать: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 (x 2)2 |
|
4 |
|
(x 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2n |
|
(x 2)2n |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
, |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2! |
|
|
|
4 |
|
|
|
4! |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
II способ. Разложим |
f (x) sin |
|
|
|
в ряд Тейлора в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки x = |
2, |
используя готовое разложение. Преобразуем |
|
sin |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
sin |
x |
sin |
((x 2) 2) |
|
|
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
В ряд Маклорена для cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x 1 |
x2 |
|
|
x4 |
|
... ( 1)n |
|
|
|
x2n |
|
|
|
..., |
|
|
x |
|
|
|
(12.7) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
справа и слева вместо x подставим (x 2) |
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций... |
129 |
|
|
sin |
x |
cos |
(x 2) |
1 |
|
2 |
x 2 2 |
|
4 |
x 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
2! |
|
4 |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 2n |
x 2 2n |
..., |
|
x |
|
|
; |
|
|
|
(12.8) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(так как в (12.7) x |
|
(x 2) |
|
|
|
x |
|
). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
При разложении функции в ряд часто используют почленное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирование и интегрирование рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример. Разложить в ряд Маклорена |
|
|
y arctgx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Предварительно |
|
разложим в |
ряд Маклорена функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
1 |
|
|
, для чего в разложении |
|
1 |
|
|
|
1 x x2 |
|
... xn ..., |
|
x |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
заменим x на x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
x2 |
x4 ... ( 1)n x2n ..., |
|
x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому |
|
|
|
dx (1 x |
2 |
x |
4 |
... ( 1) |
n |
x |
2n |
...)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= dx x2dx x4dx ... ( 1)n x2ndx ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
n |
x2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= x |
|
|
|
|
|
... |
( 1) |
|
|
|
..., |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(получившийся ряд сходится и в граничных точках).
Задачи для самостоятельного решения
Следующие функции разложить в ряд Маклорена.
33. |
1 |
. |
|
|
34. |
|
ln(1 x). |
35. |
|
|
1 |
|
|
. |
|
36. sh x . |
37. cos 5x . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
38. |
arcsin x . |
39. |
|
(x3 2ctg x) sin x . |
|
40. sin2 2x . |
41. 2 x2 . |
||||||||||||||||||
42. |
|
3x2 1 |
. |
43. |
2 |
|
. |
44. |
|
|
1 |
|
|
. |
45. ln(1 x x2 ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
1 3x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
46. |
|
|
|
|
. |
47. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .
130 |
Г л а в а 12. Функциональные ряды |
|
|
Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.
48.
51.
54.
56.
ln x; x0 1. |
49. |
||||||||
|
|
1 |
|
; x0 |
|
3 . |
52. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
4 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
; |
x0 2 . |
||
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
4x 3 |
||||||||
|
|
|
3x ; x0 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; x0 2 . |
|
|
x; x0 2 . |
|
50. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
cos2 x; x . |
53. |
|
|
1 |
|
|
; x 1. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
(3 x)2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
55. ln |
|
1 |
|
; x0 1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
x2 2x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
12.6. |
ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ |
|
|
|
Если некоторое число S разложено в ряд |
|
|
|
S u1 u2 |
... un ... |
(12.9) |
и |
S u1 u2 |
... un , |
|
то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком
un 1 un 2 ... .
Как произвести оценку погрешности?
1.Если ряд (12.9) – знакочередующийся, то остаток имеет знак своего первого члена un 1 и un 1 .
2.Если ряд (12.9) – знакоположительный, то остаток либо оценивают с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо
пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка, и оценивают остаток ряда (12.9) суммой найденного ряда.
Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как члены ряда могут и не быть десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже нужно учесть.
Пример. Какова величина допущенной ошибки, если прибли-
женно положить |
e 2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
? |
|
2! |
3! |
4! |
||||||||
|
|
|
|
|
Ошибка будет суммой знакоположительного ряда
|
1 |
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
... . |
(12.10) |
|
5! |
6! |
n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (12.10) членами геометрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (12.10):
|
1 |
|
|
1 |
|
|
4! |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n! |
4! |
n! |
|
|
|
|
n(n 1)...5 |
4! |
n 4 |
4! |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||
n 5 |
|
n 5 |
4! |
n 5 |
|
|
n 5 |
5 |
|
|
n 0 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1/ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0, 011. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 2 3 4 1 1/ 5 |
1 2 3 4 4 96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.6. Приложения степенных рядов |
131 |
|
|
б) Оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена формулы Маклорена
R (x) |
|
f (n 1) ( x) |
xn 1 . В нашем случае f (x) ex ; x 1; |
n 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
R (x) |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 025 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
5! 5! 1 2 3 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример. Вычислить |
|
|
dx с точностью до 0,001 (предпо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
лагаем, что |
sin x |
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
x3 |
x5 |
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x4 |
x6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..., |
x 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... dx |
|
|
dx + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
x4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
27 |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
dx ... 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|
|
(12.11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5! |
7 7! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5! |
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3! |
|
|
|
9 9! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили знакочередующийся ряд. |
Если для вычисления интегра- |
2
ла sinx x dx взять 4 члена ряда (12.11), то ошибка 1 , которая
0
получается за счет отбрасывания членов ряда, начиная с пятого,
не |
будет |
|
превосходить первого из |
отброшенных членов, |
т.е. |
||||||||||||
|
29 |
|
|
1 |
. Вычисления нужно вести с 4 знаками после запя- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
9 9! |
|
6000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
той, |
тогда ошибка 2 , которая получается при обращении II, |
III |
и |
||||||||||||||
IV членов ряда (12.11) в десятичные дроби, будет меньше |
|
3 |
: |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
10000 |
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
. Общая ошибка |
|
0, 001. |
2 |
sin x |
dx 1, 605 . |
||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
10000 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Результат округлен до III знака после запятой.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y xy 0 в виде степенного ряда.
Так как x = 0 не является особой точкой для данного дифференциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда
|
|
|
y Cn xn C0 |
C1x C2 x2 ... Cn xn ... . |
(12.12) |
n 0