§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства

Непосредственно измеряемые (“наблюдаемые”) физические величины вещественны, т.е. все собственные значения оператора - { g_n } должны быть вещественны. В результате измерения физической величины, описываемой оператором _, получаем:

₁) если физическая система (частица) находится в состоянии, описываемом собственной функцией , то при измерении получим соответствующее собственное значение g_n ;

2) если система (частица) описывается произвольной функцией , то при измерении наблюдаемой, т.е. действии оператора , получим линейную комбинацию из собственных значений g_n - некое среднее значение, которое тоже вещественно.

Введем понятие транспонированного оператора , который определяется из соотношения

, (2.34)

т.е. транспонированный оператор дает тот же результат, действуя на левую функцию, что и оператор , действуя на правую.

Самосопряженные операторы определяются следующим равенством

где - оператор, сопряженный к оператору .

Если

_(2.36)

то этот оператор называется эрмитовым или самосопряженным оператором. Можно сказать, что действие оператора на правую от него функцию совпадает с действием комплексно сопряженного оператора на левую функцию:

Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора

Рассмотрим оператор дифференцирования . Будем считать, что волновые функции равны нулю на бесконечности. Вычислим оператор, сопряженный оператору с помощью интегрирования по частям:

Таким образом, оператор, сопряженный оператору , равен

и, следовательно, оператор не является эрмитовым. Очевидно, что

оператор импульса - самосопряженный оператор.

Оператор координаты также эрмитов оператор.

_{Рассмотрим уравнения} и

(2.39)

_{Данное равенство означает, что собственные значения эрмитова оператора вещественны.}

Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор

Пусть мы имеем дискретный набор собственных значений и собственных функций эрмитова оператора (причем считаем, что нет вырождения, т.е. все волновые функции разные для разных собственных значений ):

В математике строго доказано, что набор собственных волновых функций эрмитова оператора образует полную систему ортонормированных волновых функций, т.е.

В самом деле, для доказательства ортогональности рассмотрим два равенства

Умножим слева первое уравнение на , второе на , и проинтегрируем. Вычитая второе уравнение из первого уравнения и учитывая, что (- эрмитов оператор) , получаем:

_,

Отсюда следует, что если _n  _m, то . Полнота набора означает, что любую функцию можно разложить в ряд по функциям .

В случае, когда имеем вырождение, волновая функция берется в виде линейной комбинации , где все волновые функции имеют одно и то же собственное значение . При этом линейные комбинации можно сделать такими, что новые волновые функции будут ортонормированными.

Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд по системе собственных функций самосопряженного линейного оператора

Коэффициенты разложения можно получить, умножив обе части выражения на и интегрируя:

Таким образом,

Квадрат коэффициента  дает вероятность того, что в состоянии, описываемом , присутствует примесь состояния .

Если имеем непрерывный спектр значений, тогда волновую функцию раскладываем в интеграл

, (2.47)

где коэффициенты определяются

Волновые функции непрерывного спектра нормируются на  - функцию

Свойства - функции.

Функция везде равна нулю за исключением точки x = a, где она обращается в бесконечность:

или

Интеграл от - функции равен единице (бесконечность с мощностью равной 1):

или

Геометрически -функцию можно рассматривать как предел максимума, стремящегося к бесконечности в точке a и сохраняющего площадь под кривой равной единице. Важное свойство - функции состоит в том, что она “вырезает” из функции в подынтегральном выражении значение этой функции в точке a

Последнее условие и нормировка позволяет получать коэффициенты .