- •Глава 1. Волновые свойства частиц
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм
- •§1.2. Волны де Бройля и их экспериментальное подтверждение
- •§1.3. Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей
- •Глава 2. Математический аппарат квантовой механики
- •§ 2.1. Уравнение Шредингера
- •§2.2. Операторы
- •§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства
- •§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака
- •§2.5. Дифференцирование операторов по времени
- •Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении
- •§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками
- •§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками
- •§3.3. Потенциальные барьеры
- •§3.4. Линейный гармонический осциллятор
- •§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения
- •Глава 4. Момент импульса
- •§4.1. Момент импульса в квантовой механике
- •§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе координат
- •§4.3. Оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат
- •Глава 5. Физика атомов
- •§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле
- •§5.2. Уравнение для радиальной части волновой функции
- •§5.3. Уравнение для угловой части
- •§5.4. Состояние электронов в атоме. Спин электрона
- •§5.5. Магнитный момент атома
- •Глава 6. Теория возмущений
- •§6.1. Стационарная теория возмущений
- •§6.2. Нестационарная теория возмущений
- •§6.3. “Золотое ” правило Ферми
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм 4
§3.3. Потенциальные барьеры
Одномерный потенциальный барьер определяется зависимостью потенциальной энергии от координаты . Если на каком-то участке координаты x потенциальная энергия возрастает (или падает), то говорят об одномерной потенциальной ступеньке.
Рассмотрим задачу, когда на одномерную потенциальную ступеньку налетает частица. Если выполняется условие, что размер области изменения потенциальной энергии x мал по сравнению с волной де Бройля частицы , то тогда можно считать барьер прямоугольным, для которого .
В классическом случае, если энергия налетающей частицы E < U0, то частица с достоверностью отражается и в правую область не проникает. Если ее энергия E > U0, тогда частица с достоверностью проходит над барьером и в правой области она движется с меньшей скоростью . В рамках квантово-механического рассмотрения решается уравнение Шредингера в области до порога x < 0 и после порога x > 0, а затем решения “сшиваются” на границе (x = 0).
Прямоугольный потенциальный барьер.
Пусть на прямоугольный потенциальный барьер (Рис.3.6) слева падает поток частиц с полной энергией , меньшей величины барьера.
Рис.3.6. Прохождение частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер.
Потенциальная энергия
(3.25)
Разобьем пространство на три части I, II и III. В I и III областях имеем уравнение Шредингера для свободной частицы:
. (3.26)
Его решения:
I область , (3.27)
III область . (3.28)
Во II области имеем:
. (3.29)
Соответствующее решение под барьером
(3.30)
Волна exp(ikx) движется в положительном направлении оси x, а волна exp(-ikx) - в обратном. В III области не будет волны в обратном направлении оси x, т.к. из бесконечности нет потока частиц. Окончательно
. (3.31)
На границах полная волновая функция и ее первая производная непрерывны. Эти граничные условия дают систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D и G.
При x = 0 . (3.32)
При x = a . (3.33)
Введем коэффициенты отражения и прохождения как отношение плотностей потока
. (3.34)
В I области поток вправо определяется волной, распространяющейся вдоль оси x, . Поэтому
(3.35)
Поток влево в I области определяется волной , а
(3.36)
Коэффициент отражения определяется
(3.37)
Коэффициент прохождения (поток пройденной волны определяется волной ):
(3.38)
В первой паре уравнений (3.32) сложим два уравнения, избавляясь от коэффициента В.
Во второй паре уравнений (3.33) делим на второе уравнение, затем складывая и вычитая, получаем следующие два соотношения:
Выражая отсюда 2С и 2D и подставляя их в предыдущее уравнение, имеем
Раскрывая скобки, получаем
Введем гиперболический косинус и гиперболический синус:
Для них выполняется теорема Пифагора
Тогда:
Теперь, раскрывая скобки и учитывая теорему Пифагора, получаем для отношения квадратов:
. (3.40)
Здесь .
Результирующее выражение для коэффициента прохождения имеет вид
. (3.41)
Исследование коэффициентов прохождения и отражения. То, что коэффициент прохождения не равен нулю при полной энергии частицы меньшей потенциального барьера E < U0 – называется туннельным эффектом. В классической физике ничего подобного нет, туннельный эффект – чисто квантовый эффект.
При условии a >> 1 можно получить для коэффициента прохождения Т:
,
или
Коэффициент отражения определяется соотношением . Подставляя решения системы уравнений (3.32) - (3.33), получаем
. (3.42)
Как и должно быть из закона сохранения вероятности
. (3.43)
Случай E > U0.
Решение получается тем же путем, как и ранее, только в области II имеем решение, описывающее движение свободной частицы с . В итоге мы получаем те же формулы для коэффициентов прохождения и отражения, только "" меняем на "i" и "Sh" на "-iSin":
, (3.44)
. (3.45)
В общем случае мы имеем коэффициент отражения не равный нулю (и ), т.е. частица может отразиться от барьера и при энергии, превышающей величину барьера, когда по классической механике частица проходит с достоверностью над барьером.
Однако, есть характерные энергии, когда коэффициент отражения равен 0, а коэффициент прохождения равен 1:
(3.46)
При таких энергиях частица пролетает над барьером с достоверностью и при квантовом рассмотрении. Заметим, что при этом целое число полуволн де Бройля укладывается на барьере, чему соответствует условие .
Аналогичное решение для коэффициентов прохождения и отражения получаем для барьера в виде прямоугольной ямы, при этом меняется только "U0" на "-U0".
Отметим, что в общем случае коэффициент отражения не равен нулю. Коэффициент прохождения обращается в единицу только для таких энергий когда на размере ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.
Барьер произвольной формы.
Если барьер U = U(x) произвольной формы, то задачу о прохождении частицы можно решить приближенно. Пусть E = const и тогда равенство E = U(x) определяет 2 точки a и b, где частица классически “входит” и “выходит” из барьера. Сам барьер можно представить в виде суммы прямоугольных барьеров, причем каждый из них рассматривать отдельно, как ранее.
Рис.3.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер произвольной формы.
Приближенно задачу можно решить, если барьеры достаточно широкие, и при этом импульс p(x) и соответствующая волна де Бройля медленно меняются на расстоянии ~ . Это условие называется условием применения квазиклассического приближения. В самом деле, воспользуемся описанием изменения волновой функции при распространении частицы в пространстве с постоянным потенциалом, а именно: , где p(x) = const (временной множитель не существенен для определения координатной зависимости). Разбивая барьер на маленькие прямоугольные барьеры шириной x, можно считать, что на ширине x такого барьера U(x) = const и импульс частицы не меняется . Можно записать последовательность приближенного изменения волновой функции при переходе от одного барьера к другому:
………
Тогда связь волновой функции на выходе из барьера с волновой функцией на входе записывается, как
.
Коэффициент прохождения через барьер произвольной формы
Здесь мы поменяли местами потенциальную и полную энергии частицы. В итоге
. (3.47)
Выражение (3.47) позволяет найти коэффициент прохождения через барьер произвольной формы в квазиклассическом приближении.