§3.4. Линейный гармонический осциллятор

Классический осциллятор. Задача об осцилляторе одна из самых важных задач в механике, электромагнетизме и в квантовой механике. Сложное периодическое или колебательное движение можно свести к совокупности нормальных колебаний, эквивалентных гармоническому осциллятору. Напомним рассмотрение осциллятора в классической механике. Упругая возвращающая сила равна , при этом уравнение Ньютона имеет вид

. (3.48)

Колебательное движение (осциллятор) описывается уравнением

, где . (3.49)

Решение данного уравнения - . Энергия гармонического осциллятора может принимать произвольное значение.

Квантовый осциллятор. Уравнение Шредингера для одномерного осциллятора (U(x)=kx²) имеет вид:

. (3.49)

Граничные условия состоят в том, что волновая функция убывает на больших расстояниях . Перепишем уравнение (3.49)

(3.50)

и введем новые обозначения:

, , . (3.51)

Вычислим производные и подставим их в (3.50). Тогда

. (3.52)

При    это уравнение следует заменить уравнением

Его решением является функция , вторая производная которой равна . Для простоты еще раз воспользуемся тем, что   . Тогда , и имеет место

Отсюда следует, что , С₂ = 0. Итак, решение на бесконечности Общее решение запишем в виде

(3.53)

(3.54)

Подставляя (3.54) в (3.52), получаем

(3.55)

Решение ищем в виде ряда по степеням :

(3.56)

Начальную степень  (которая может быть отрицательной) определим из условия, чтобы u() нигде не обращалась в бесконечность. Тогда из (3.55):

(3.57)

Приравнивая нулю слагаемые с одинаковыми степенями ^k, получаем:

1. при , откуда следует, что  = 0 или  = 1;

2. при , откуда  = 0 или  = -1.

Начало ряда со степени  = -1 не годится, поскольку слагаемое ^-1 расходится при   0. В общем случае из равенства коэффициентов

находим рекуррентное соотношение

(3.58)

Общее рекуррентное соотношение позволяет вычислить коэффициенты ряда через единицу. Ряды могут начинаться с  = 0 или с  = 1. Итак, имеем в ответе два ряда:

(3.59)

Ряды (3.59) расходятся, однако решение существует, если ряд оборвать и сделать конечным. Оборвать ряд u можно с помощью выбора параметра . Оборвать ряд - это означает приравнять коэффициент b_k+2 в соотношении (3.58) нулю, откуда следует, что

_. (3.60)

Поскольку k есть порядковый номер членов ряда, то это целое число и тогда  также целое число. Поэтому

, где n = 0,1,2,3,... (3.61)

Вспоминая выражение для , находим разрешенные уровни энергии

, (3.62)

где n = 0,1,2,3,... Итак, мы получили эквидистантный спектр энергий одномерного осциллятора, когда уровни энергии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Это расстояние равно энергии кванта . Низший уровень энергии отличен от нуля и составляет половину энергии кванта .

Получающиеся конечные ряды u() называются полиномами Эрмита и обозначаются . Для нескольких значений n имеем:

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

и так далее. Коэффициенты в полиномах Эрмита для удобства выбраны так, что коэффициент при максимальной степени  равен . Все остальные коэффициенты b_k в ряду тогда определяются рекуррентной формулой, в которой  = 2n+1:

. (3.63)

Можно привести замкнутую формулу для получения полиномов Эрмита

. (3.64)

Итак, полное решение уравнения Шредингера имеет вид:

. (3.65)

Коэффициенты C_n находятся стандартным образом из условия нормировки Подставив в интеграл выражение для одного из полиномов Эрмита из замкнутой формулы (3.64), получаем

Интеграл можно взять n раз по частям, при этом все свободные члены обращаются в нуль на бесконечности из-за убывания волновой функции. Тогда

Из (3.64) следует, что Теперь под интегралом остается только экспоненциальная функция, и интеграл представляет собой известный табличный интеграл Условие нормировки принимает вид :

, откуда . (3.66)

Волновые функции низших состояний:

Волновые функции с разными n ортонормированы

(3.67)

Рис.3.8. Спектр, волновые функции _n и соответствующие им плотности вероятности одномерного квантового осциллятора.

Волновые функции _n и соответствующие им плотности вероятности |_n|² (пунктир) показаны на рисунке 3.8. Из решения видно, что имеются четные и нечетные состояния. Отметим, что с ростом энергии волновые функции и плотности вероятности имеют большое число осцилляций внутри “классически разрешенной” области. Причем возрастает амплитуда и вероятность находиться частице у границы потенциала. Это не удивительно, так как с ростом номера уровня распределение плотности вероятности приближается к классическому распределению вероятности нахождения частицы внутри такой ямы.