§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками

Рассмотрим одномерную прямоугольную яму со стенками конечной высоты.

Рис.3.2. Одномерная прямоугольная яма со стенками конечной высоты.

Выберем начало координат на дне ямы симметрично относительно стенок:

(3.12)

Найдем сначала решения уравнения Шредингера внутри и вне ямы. Для получения общего решения необходимо “сшить” эти решения на границе ямы. При энергии частицы E > U₀ имеем непрерывный спектр энергий, частица пролетает над ямой и может иметь любую энергию. В самом деле, внутри ямы имеем уравнение Вводя , записываем решение в этой области Вне ямы имеем уравнение Вводя волновое число , получаем решение вне ямы . Сшивая эти решения на границе, получаем, что любые энергии частицы разрешены. Таким образом, имеем сплошной спектр при E > U₀.

Рассмотрим подробнее случай, когда энергия частицы E < U₀. В этом случае мы получаем дискретный спектр связанных состояний. Для двух областей:

|x| < a/2 (3.13)

|x| > a/2 (3.14)

Введем оператор четности с помощью соотношения . Собственные числа оператора четности могут быть получены, если повторно подействовать им на исходную волновую функцию. Тогда получаем, что Таким образом, значения собственных чисел  = 1. Для значения  = 1, получаем “четное” состояние, а для  = -1, имеем “нечетное” состояние. Поскольку , то оператор четности коммутирует с гамильтонианом рассматриваемой задачи

. (3.15)

Из (3.15) следует, что все собственные функции гамильтониана имеют определенную четность. Рассмотрим эти состояния поочередно.

Нечетные состояния. Запишем решения уравнений (3.13) и (3.14) для

нечетных состояний

Рис.3.3. Схематический вид нечетной волновой функции в прямоугольной яме

конечной глубины.

(3.16)

На Рис.3.3. показано, что частица проникает вне области ямы, при этом глубина проникновения частицы под барьер .

Из условий непрерывности волновой функции и её производной на границе x = a/2 следует:

(3.17)

Делением верхнего уравнения на нижнее уравнение получаем, что

(3.18)

Это трансцендентное уравнение определяет энергии разрешенных состояний. То же самое уравнение получим в силу симметрии из граничного условия при x = -a/2. Введем обозначение , тогда для правой части (3.18) получаем

,

где введен параметр мощности ямы:

. (3.19)

Для определения спектра надо решить трансцендентное уравнение

. (3.20)

Рассмотрим решение этого уравнения графически, для чего построим отдельно правую и левую части уравнения. Точки пересечения дают корни этого уравнения. Из рисунка видно, что решения имеются не при всех . Чем больше мощность ямы , тем больше корней уравнения - больше уровней энергии. При уменьшении  число корней уменьшается. А при мощности , т.е. при

,

корней соответствующих нечетным состояниям нет вовсе. Напомним, что t₀ = 0 и E₀ = 0 не являются корнями, т.к. при этом решение внутри ямы есть , которое не удовлетворяет граничным условиям.

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий нечетных состояний.

Итак, для нечетных состояний, получаем:

- при мощности ямы нет дискретных состояний;

- при мощности ямы существует 1 нечетное состояние;

- при мощности ямы существует 2 нечетных состояний и т.д.

Четные состояния. Запишем теперь решения для четных состояний:

(3.21)

На границе ямы при x = a/2 имеем:

(3.22)

Откуда получаем новое трансцендентное уравнение

или . (3.23)

В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при x = -a/2. Из графического решения этого уравнения видно, что при всех возможных значениях параметра  хоть одно решение есть всегда. Чем больше , тем больше четных решений.

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий четных состояний.

Итак, при мощности ямы получаем одно четное решение, при мощности получаем два четных решения и т.д.

Рассмотрим теперь “мелкую” яму, для которой  << 1. Для такой ямы достаточно легко найти энергию единственного четного состояния (t   << 1).

Из (3.23) следует, что Решая это уравнение, получаем

Вспоминая, что и , записываем для квадрата волнового числа

а для энергии

(3.24)

Первый (четный) уровень энергии находится теперь у самого “верха” ямы.

В одномерной яме с конечными стенками всегда существует хотя бы одно связанное состояние. При малой глубине и ширине (мощности) ямы в яме имеется только один четный уровень. С ростом U₀ и a растет мощность ямы, и появляются новые уровни при прохождении параметром  значений , где n – целое число. Четные и нечетные уровни появляются по очереди, причем вначале четные. Качественное поведение волновых функции низших состояний показано на Рис.3.5. Возводя в квадрат эти волновые функции, получаем плотность вероятности нахождения частицы при данной координате.

E₃

Рис.3.5. Качественное поведение волновых функции низших состояний.

В одномерной потенциальной яме хотя бы один уровень существует всегда, но это не так в трехмерной потенциальной яме. Для нее существование хотя бы одного уровня зависит от “мощности” потенциальной ямы: , где U₀ – глубина ямы, а a – ее размер. При малых мощностях ямы энергия частицы тоже должна быть малой, т.е. частица имеет большую волну де Бройля, и она как бы не “помещается” внутри ямы.