KMSF-Chast1-new

Уравнение для координатной части волновой функции

		2						,
			2						(2.15)
	2m		r		U r	r	E r

или

ˆ				(2.16)
H r		E r

называется стационарным уравнением Шредингера.

Полная волновая функция стационарного состояния имеет вид

				i	Et
							(2.17)
			r ,t e		r ,
где (r) – решение стационарного уравнения Шредингера.							Плотность веро-
ятности распределения		2	не зависит от времени, т.е. стационарна.
	r ,t

§2.2. Операторы

Операторный метод - традиционная и основная формулировка квантовой механики. В квантовой механике любой динамической переменной, любой физической величине приводится в соответствие квантово-механический оператор.

	Оператор	ˆ	- это правило, по которому любой
		F

водится в соответствие другая функция f:

выбранной функции при-

ˆ	(2.18)
f F

Ранее мы уже встречались с операторами:	,	, rot ,... , div ,... . При
	2

использовании операторов имеется договорное условие: оператор пишется всегда слева от функции, которая стоит справа от него и оператор действует на все, что стоит справа от него (если нет ограничивающих скобок).

В квантовой механике применяются только линейные операторы, чтобы не нарушался принцип суперпозиции состояний. Свойство линейных операторов:

ˆ	ˆ	ˆ	,	(2.19)
F C1 1	C2 2 C1F 1	C2 F 2

где С1, С2 - произвольные постоянные.

13

Основные операторы квантовой механики в координатном представлении:

1)Оператор координаты: xˆ x является оператором умножения;

2)Оператор полной энергии (гамильтониан)

ˆ				2
					2				(2.20)
H						U r
		2m
является суммой операторов кинетической
ˆ						2
								2	(2.21)
E	kin
				2m
и потенциальной энергии
		ˆ					;		(2.22)
	U			U r
3) Оператор импульса. Исходя						из		выражения для кинетической	энергии

E	kin

p	2
		, получим, что оператор импульса равен
2m
		ˆ
			(2.23)
		p i .

Оператор проекции импульса на ось x

	pˆ		i		.	(2.24)
		x		x

4) Оператор момента импульса

̂ = ̂ × ̂ = |

−

Действия с операторами: 1) Суперпозиция

∂

∂x

−

∂

∂y

−

∂ | .		(2.25)
∂z

ˆ			ˆ	ˆ	(2.26)
G C C C G C G ;
1	2		1	2
2) Сумма операторов
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ		(2.27)
G F G F ;
		14

3) Произведение операторов
̂ ̂		̂	̂		(2.28)
( )Ψ = ( );
ˆ	ˆ	некоммутативны, т.е. их последовательное
Вообще говоря, операторы G и	F
				ˆ ˆ	ˆ ˆ
действие не совпадает с последовательным обратным действием: GF FG .
Можно определить коммутатор двух операторов
ˆ	ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ	(2.29)
G, F GF FG
и антикоммутатор
	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	(2.30)
F,G FG GF .

Если для двух операторов выполняется условие

ˆ ˆ	ˆ ˆ
GF FG ,

(2.31)

т.е. их коммутатор равен нулю, то говорят, что эти операторы коммутируют. Для того, чтобы найти коммутатор, надо подействовать им на произвольную

функцию Ψ( ). Например, не коммутируют операторы ̂ и ̂, коммутатор

которых равен:

x

i

i

x i x

i ,

i x

x

x

x

x

xˆ, pˆ	x	i .	(2.32)

Очевидно, что операторы yˆ и

pˆ	x

коммутируют,

т.е.

yˆ,

pˆ	x

0

.

Собственные функции и собственные значения

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор. Рассмотрим задачу определения собственных чисел f и g, и собствен-

	ных функций и операторов		ˆ		ˆ
			F		и G :
	ˆ	f n n
	F n			,	(2.33)
	ˆ	gn n
	G n

где n - значок, соответствующий номеру решения. Собственные функции -

ˆ

это такие функции, которые под действием оператора G переходят сами в себя, умноженные на постоянное число gn. Соответствующие значения gn

называются собственными значениями оператора ˆ Собственные волно-

G .

вые функции описывают в квантовой механике такие состояния, в которых

15

данная физическая величина g имеет определенное значение gn. Иначе гово-

ря, если частица (или система) находится в состоянии

n , то ее физическая

величина g в этом состоянии равна gn и постоянна. Совокупность собствен-

	ˆ
ных значений gn называется спектром оператора	G	.

Спектр собственных значений может быть дискретным и непрерывным. Дис-

	ˆ		g
кретный спектр gn имеет место, если уравнение	G	n		n		n	имеет решение

не при всех, а только при определенных gn. Непрерывный или сплошной спектр gn имеет место, когда это уравнение имеет решение при всех значениях gn или хотя бы при всех gn в некоторой области. Спектр собственных значений может быть смешанным, т.е. состоящим из дискретных и непрерывных значений gn. Уравнение на собственные значения оператора координаты xˆ x в координатном представлении квантовой механики имеет решение при всех значениях координаты, т.е. x имеет сплошной спектр. Собственные функции

		i	p x
	оператора проекции импульса Ae
			x

существуют при любых значениях px, имеет непрерывный спектр.

находятся из

т.е. оператор

	i		p
		x

проекции

	. Решения
x
импульса		px
		ˆ

Решения стационарного уравнения Шредингера ˆ зависят от вида H n En n

оператора потенциальной энергии . При этом можно получить как дис- U r

кретный спектр (электрон в атоме водорода), так и непрерывный спектр (свободная частица).

§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства

Непосредственно измеряемые (“наблюдаемые”) физические величины ве-

щественны, т.е. все собственные значения оператора ˆ - { g } должны быть

G n

вещественны. В результате измерения физической величины, описываемой

оператором ˆ получаем:

G ,

1) если физическая система (частица) находится в состоянии, описываемом собственной функцией n , то при измерении получим соответствующее собственное значение gn ;

2) если система (частица) описывается произвольной функцией , то при

измерении наблюдаемой, т.е. действии оператора ˆ , получим линейную

G

16

комбинацию из собственных значений gn - некое среднее значение, которое тоже вещественно.

Введем понятие транспонированного оператора					ˆ	т р	, который определя-
					F
ется из соотношения	2 dV F
1 F			1	2 dV ,			(2.34)
* ˆ	ˆ	тр	*

т.е. транспонированный оператор дает тот же результат, действуя на левую

функцию, что и оператор			ˆ
			F , действуя на правую.
Самосопряженные операторы определяются следующим равенством
		* ˆ				ˆ	*	ˆ	*
			2 dV	2			dV 2		dV ,	(2.35)
		1 F				F 1		F 1
ˆ							ˆ
где F		- оператор, сопряженный к оператору F .
Если
			ˆ			ˆ
			F			F ,				(2.36)

то этот оператор называется эрмитовым или самосопряженным операто-

	ром. Можно сказать, что действие оператора	ˆ	на правую от него функцию
		F

совпадает с действием комплексно сопряженного оператора на левую функцию:

	* ˆ	ˆ	*	ˆ *
			dV		*	(2.37)
	1 F 2 dV	2 F 1		2 F	1 dV .

Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора

ˆ	ˆ	тр	*
			.			(2.38)
F	F
				ˆ	d
Рассмотрим оператор дифференцирования				F	dx	. Будем считать, что

волновые функции равны нулю на бесконечности. Вычислим оператор, со-

пряженный оператору

ˆ

с помощью интегрирования по частям:

F

d

d

d

2

dx

2

1

dx 0

2

1

dx.

1

dx

1

2

dx

dx

17

Таким образом, оператор, сопряженный оператору

ˆ F

d dx

, равен

ˆ			d
F			dx

и, следовательно, оператор

ˆ

d

не является эрмитовым. Очевидно, что

F

dx

ˆ

ˆp

оператор импульса

F i

x

x - самосопряженный оператор.

i

i

2

dx

2

i

dx

1

1

2

x

1

x

ˆ

0

i

dx

i

dx

dx .

2

1

2

x

1

2

x 1

x

Оператор координаты Рассмотрим уравнения

xˆ x

ˆ F n

также

		n
n

эрмитов оператор.

и	ˆ * *	* *	,	откуда
	F n	n n

	* ˆ			ˆ	*
n		2	dV n			*
	n F n dV n n			F n		dV n .

(2.39)

Данное равенство означает, что собственные значения эрмитова оператора вещественны.

Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор

ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	(2.40)
FG F G		GF	FG .

Пусть мы имеем дискретный набор собственных значений и собственных

функций эрмитова оператора ˆ (причем считаем, что нет вырождения, т.е.

F

все волновые функции n разные для разных собственных значений n ):

1 , 2 , 3 ,...

1 , 2 , 3 ,...

В математике строго доказано, что набор собственных волновых функций эрмитова оператора образует полную систему ортонормированных волновых функций, т.е.

*		m n
	0,
m n dV		m n		mn .	(2.41)
	1,

В самом деле, для доказательства ортогональности рассмотрим два равенства

18

F
	ˆ		n	n	n		(2.42)
	ˆ
	F		m			m
				m

Умножим слева первое уравнение на Вычитая второе уравнение из первого

	m , получаем:
тов оператор) m
	0 n

	m		,		второе на			n , и проинтегрируем.
								ˆ
	уравнения и учитывая, что ( F - эрми-
					dV
						,
	m			m	n

							dV 0 .	(2.43)
	n		m			n
					m

Отсюда следует, что если n m, то			n dV 0	. Полнота набора означает,
		m

что любую функцию можно разложить в ряд по функциям n .

В случае, когда имеем вырождение, волновая функция берется в виде линей-

ной комбинации	n	n	n	n	n	n	n	..., где все волновые функции
		1	1	2	2	3	3

имеют одно и то же собственное значение

ˆ
F	n
	i

		n
n
		i

. При этом линейные

комбинации можно сделать такими, что новые волновые функции будут ортонормированными.

Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд по системе собственных функций самосопряженного линейного оператора

		.
r	Cn n r		(2.44)

n

Коэффициенты разложения можно получить, умножив обе части выражения

на

и интегрируя:

k

dV

n

dV Cn kn

r

k r dV Cn n

r

k r

Cn k r

r

Ck .

(2.45)

n

n

n

Таким образом,

dV .

C k r

k* r

(2.46)

Квадрат коэффициента			k
		C	2
	, присутствует
ваемом r

дает вероятность того, что в состоянии, описыпримесь состояния k .

19

Если имеем непрерывный спектр значений, тогда волновую функцию раскладываем в интеграл

	r		C r	d ,	(2.47)

где коэффициенты определяются

C				1
1

		dV .	(2.48)
r	r

Волновые функции непрерывного спектра нормируются на - функцию

			dV ' .
'	r	r		(2.49)

Свойства - функции.

Функция обращается в

x a	везде равна нулю за исключением точки x = a, где она

бесконечность:

0,	x a
x a	x a
,

или

0,	x 0
x	x 0
,

(2.50)

		Интеграл от - функции равен единице (беско-
	-функция	нечность с мощностью равной 1):
		x a dx 1	или x dx 1 .	(2.51)
		Геометрически -функцию можно рассматри-
		вать как предел максимума, стремящегося к
a	x	бесконечности в точке a и сохраняющего пло-

щадь под кривой равной единице. Важное свойство - функции состоит в том, что она “вырезает” из функции в подынтегральном выражении значение этой функции в точке a

x x a dx a .	(2.52)

Последнее условие и нормировка позволяет получать коэффициенты C .

20

§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака
Поскольку вероятность найти частицу в элементе объема dV равна
*
dW	r	r dV , то можно определить средние значения различных физиче-

ских величин. Напомним, что среднее значение, например координаты, определяется выражением

x

xdW x xdx ,

(2.53)

где вероятность значения dW определяется dW x dx . Аналогично получаем для средних янии, определяемой волновой функцией x ,

через плотность вероятности значений координаты в состо-

			x x x dx
x				x x dx	.	(2.54)

Если волновая функция наты равно

x

уже нормирована, то среднее значение коорди-

x		* x x x dx .	(2.55)

Выражение для среднего значения любого оператора

ˆ F

имеет вид

ˆ				ˆ		dV .	(2.56)
F			r	F r

Волновую функцию x можно разложить по собственным функциям опе-

ратора

ˆ F

(

ˆ
F	n

		n
n

).

Тогда

ˆ			ˆ	Cm		ˆ
F Cn		n	F		mdV Cn Cm	n F mdV
n				m	n ,m
				m dV		2	(2.57)
Cn Cm	m n				mCn Cm nm n Cn
n ,m					n ,m	n
Таким образом, среднее значение оператора						ˆ
						F определяется суммой соб-
ственных значений этого оператора, взятых с весовыми множителями							Cn	2 ,

определяющими вероятность реализации данного собственного состояния n в волновой функции x .

21

Для того, чтобы сделать запись квантово-механических выражений более компактной удобно ввести обозначения Дирака, которыми мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Обозначения Дирака:

1) для волновой функции вводятся обозначения:

Ψ( ) = |Ψ >, Ψ ( ) = |Ψ >, Ψ (r) = |n >,

Ψ (r) =< |;

n

n

2)

̂

̂

=∫

̂

̂

для матричного элемента оператора -

Ψ

(r) Ψ

(r)dV = n| |m ;

n

m

3)

ортонормируемость записывается, как

|

∫ Ψn(r)Ψm(r)dV =

n m = δnm;

4)

̂

̂

;

эрмитовость означает, что n| |m = ( m| |n )

5)

полнота системы функций записывается в виде

∑ | >< | = 1.

В этих обозначениях выражения для разложения волновой функции и среднего значения оператора (2.56) значительно упрощаются:

|Ψ >= ∑		| >,	̂	̂
			= Ψ| |Ψ .

§2.5. Дифференцирование операторов по времени

Запишем условие равенства среднего значения производной оператора по времени производной от среднего значения

̂

Ψ|

|Ψ =

Ψ| ̂|Ψ .

(2.58)

Используя нестационарное уравнение Шредингера, получим

̂

̂

∂

̂

̂

∂

̂

1

̂

̂

Ψ| |Ψ = Ψ|

|Ψ + ∂t

Ψ| |Ψ + Ψ| |

∂t

Ψ = Ψ|

+

[ , ]|Ψ .

Таким образом,

̂

̂

1

̂ ̂

=

+

[ , ].

(2.59)

22