KMSF-Chast1-new

̂= −		̂	(5.31)
		.
	2

Знак минус показывает, что магнитный и орбитальный моменты электрона направлены в противоположные стороны. Отношение магнитного момента к

орбитальному называется гиромагнитным отношением.

2

Из релятивистской теории Дирака и эксперимента следует, что для что магнитного и спинового моментов электрона имеет место соотношение

̂= −		̂,	(5.32)

в котором коэффициент пропорциональности в два раза, чем в выражении (5.31). Иначе говоря, спин обладает удвоенным магнетизмом.

В стационарном состоянии определенны значения могут иметь только модуль магнитного момента и его проекция на выделенную ось:

=

√

( + 1)

= |̂|,

= 0, 1, 2, …

}

(5.33)

= −

,

= 0, 1, 2, …

Мы ввели в (5.33) магнетон Бора

=

= 0.927 10-20 эрг/Гс - элемен-

2

тарный квант магнитного момента. Для атома в (5.33) под надо понимать L.

Для атомного спина:

̂

= 2

√ ( + 1)

= | |,

= −2 ,

= , − 1, … … . . − .}

(5.34)

= . Поэтому, принято гово-

При S=1/2 ms =1/2, -1/2,

= √3,

рить, что спиновый магнитный момент равен одному магнетону Бора.

Полный магнитный момент атома.

Рассмотрим

̂= ̂+ ̂ = −

̂

̂

(5.35)

( + 2 ).

2

Отсюда следует, что вектор полного магнитного момента и вектор

- не-

коллинеарные векторы.

Чтобы найти гиромагнитное отношение этих векто-

63

ров найдем проекции ,

и

на направление вектора .

Из (5.27) по-

лучим, что

2+ 2−2

2+ 2−2

cos( ∙ )

=

2| || |

,

cos( ∙ ) =

2| || |

.

В силу (5.35)

+

cos( ∙ )

=

√ ( + 1) .

(5.36)

cos( ∙ )

Подставляя сюда явные выражения для и

из (5.33) и (5.34), получаем

̂

2

2

−

2

̂

2

2

2

2

+3

2

2

̂

+

+

−

(

−

) | |

| |

+ 2

| |

=

=

(1 +

2|̂||̂|

2| ̂|| ̂|

22

2−2+ 2

(1 +

( +1)− ( +1)+( +1)

) √

.

)√ ( + 1

=

( + 1

22

2 ( +1)

Сравнивая это выражение с (5.36), получаем фактор Ланде

= 1 + ( +1)− ( +1)+ ( +1) .
	2 ( +1)

Теперь

	= √ ( + 1),
				}
= − ,			= , − 1, … … −

Отметим ряд наиболее интересных случаев:
	в состоянии 5	фактор Ланде =	5		больше двух;
	1		2

(5.37)

(5.38)

в состоянии 4 1/2 =0, т.е. полный момент есть, а магнитного момента нет;

в состоянии 6 1/2 фактор Ланде = −2/3 отрицателен, т.е. магнитный момент направлен в ту же сторону, что и полный момент количества движения.

64

Глава 6. Теория возмущений

§6.1. Стационарная теория возмущений

Уравнение Шредингера решается сравнительно просто только в ряде случаев. Чаще всего установить явный вид решений стационарного уравнения Шредингера не удается. Пусть система описывается гамильтонианом ̂ =

̂0 + ̂, где ̂0 – эрмитов гамильтониан, собственные значения { (0)} и соб-

ственные функции { (0)} которого известны, а ̂ есть “малая” поправка к Ĥ0

или, как говорят, возмущение. Тогда для поиска собственных функций и собственных значений полного гамильтониана можно воспользоваться стационарной теорией возмущений. Оператор ̂ может, к примеру, описывать взаимодействие системы с некоторой другой системой или с внешним полем. Если это взаимодействие является слабым, то следует ожидать, что энергетический спектр системы меняется незначительно.

Волновые функции { } и спектр{ } возмущенной системы определяются стационарным уравнением Шредингера:

̂	̂		̂			(6.1)
= ( 0 + ) = .
Рассмотрим дискретный спектр и случай, когда все уровни энергии (0)						не
вырождены. Решение уравнения (6.1) будем искать в виде разложения по
полной ортонормированной системе функций { (0)					}, т.е.
	= ∑			(0)		(6.2)

Подставим (6.2) в (6.1), умножим обе части уравнения слева на 0 и проин-

тегрируем -

∫	(0)		∑			(	(0)			̂		(0)	= ∫			(0)			∑			(0)	.
									+ )
Используя свойство ортонормированности функций { (0)}, получаем
( −		(0)	)		=	∑		∫		(0)		̂		(0)	= ∑						.		(6.3)

65

Здесь

= ∫

(0)

̂

(0)

– матричный элемент оператора возмущения,

который считается малым. Чтобы решить (6.3), запишем:

= (0)

+ (1) + (2)

+ …,

= (0)

+ (1)

+ (2)

+

(6.4)

В (6.4)

(1), (1)- величины того же порядка малости, что и .

Первый порядок теории возмущений.

Для собственного значения E=En имеем:

(0) = 1,

(0)

= 0 ( ≠ ),

= (0) + (1)

,

= (0)

+ (1)

(6.5)

Если k = n , то (6.3) принимает вид

((0)

+ (1)

− 0)

(0)

= ∑

((0) + (1)),

откуда следует, что

(1)

=

=

∫

(0)

̂

(0)

.

(6.6)

Если k ≠ n имеем

((0)

− (0)) (1)

= ∑

(0)

=

(0),

(1)

=

.

(6.7)

(0)− (0)

Коэффициент (1)

выбирается так,

чтобы функция

= (0)

+ (1)

была

нормирована с точностью до членов первого порядка. Для этого надо поло-

жить (1)	=0, тогда
	(1)					(0).
		= ∑					(6.8)
			≠ (0)− (0)

Очевидно, что с точностью до членов первого порядка эта функция ортого-

нальна (0).

Второй порядок теории возмущений.

Если k = n , то, оставляя в (6.3) только члены второго порядка малости, получаем:

66

	(2)	(0)		=	∑			(1),
					≠
	(2)							|	|2
			= ∑			≠				.	(6.9)
								(0)− (0)

Из (6.9) следует, что поправка второго порядка к энергии основного со-

стояния всегда отрицательна. Кроме того, из (6.8) можно написать условие применимости теории возмущений

	|		|
					1 (n≠m) .	(6.10)
|	(0)	−	(0)
				|

Остальные порядки теории возмущений рассматриваются аналогичным образом. Полученный ряд называется рядом Рэлея - Шредингера.

§6.2. Нестационарная теория возмущений

Если оператор возмущения ̂( ) зависит от времени, то необходимо рассматривать нестационарное уравнение Шредингера

		Ψ( , )		̂
			= Ψ( , ).				(6.11)
В (6.11)	̂ ̂	̂		̂
	= 0	+ ( ),		где 0 - оператор, собственные функции и соб-
ственные значения которого известны в силу
				Ψn(0)( , )	̂	(0)	( , ).
					= 0Ψn

Подставим в (6.11) разложение волновой функции в ряд по { 0}

( , ) = ∑			( )	(0)	( , ),		(0)	( , ) =	(0)	( )	−		(0)		.
																(6.12)

Получаем

			( )			(0)		(0)( , )				̂	̂	(0)
∑		{					( , ) + ( )		} = ∑			( ) (	+ ( ))		( , ) ,
												0
								67

		( )			(0)					̂	(0)
∑						( , ) =	∑			( ) ( )		( , ) .	(6.13)

Умножая обе части уравнения слева на (0) и интегрируя по пространствен-

ным координатам, находим основное уравнение нестационарной теории возмущении

∑		( )		=	∑		( )		( )				((0)−			(0))		= ∑					( )		( )
																													,
							̂																̂
или
						( )								̂
								=	∑					( )			( )						.						(6.14)

Пусть возмущение включается в момент времени t = 0, когда система нахо-

дится в состоянии (0). Это означает, что

	( ) =	( ≤ 0),		(0)		=	(0) = 1,			(0)	= 0,		( ) =	(0)	+	(1)	( ).
Тогда в первом порядке (6.14) примет вид
				(1)( )		̂
						=		( )								(6.15)

Интегрируя, получаем

(1)

( ) =

−

̂

′

′

′

(0)

∫

( )

( = 0).

(6.16)

0

Итак, при ≥ 0 все ( ) отличны от нуля. Это означает, что при измерении энергии системы мы теперь будем получать не только (0), но и любые

другие собственные значения (0) с вероятностью | (0)							|≠0 .
Система будет находиться в состоянии
Ψ (t) =		( ) (0) + ∑		≠n	(1)	( ) (0)		( ),
n
энергия которого неопределенна и | (1)			( )| 1.
		68

§6.3. “Золотое ” правило Ферми

Рассмотрим случай гармонического возмущения

̂

̂

( ) = (0) cos .

Тогда матричный элемент возмущения

̂

̂

cos .

Вычислим

( ) =

̂

′

(1)

−

′

′

( ) =

∫

cos

0

̂

′

+

− ′

−

′

′

=

∫

(

)

=

2

0

̂

′

′

−

(

+ )

(

− )

′

=

∫

{

+

}

=

2

0

̂

(

+)

(

− )

(

−1)

(

−1)

−

+

{

}.

(6.17)

2

+

−

Если , то первым членом можно пренебречь и после несложных преобразований получить вероятность перехода из состояния n в состояние m

̂2

sin

2( − )

2

̂2

̂2

| (1) ( )|2 = | (1)( )|2 =

2

sin

αt

≡

≡ ( )

(6.18)

− )

4 2

(

)2

α2t

4 2

4 2

2

В пределе → ∞ функция ( ) → ( ).

Известно, что для функции Дира-

ка ( )

имеет место равенство ( ) = ( )/ .

С учетом этого свойства

	(1)	( )|	2			̂	2		(0)		(0)
|				=	2 2	|	|	(		−		− ).	(6.19)

Самым важным здесь является то, что вероятность перехода пропорциональна времени. Другими словами, вероятность перехода → в единицу времени

|	(1)	( )|2			̂	2		(0)		(0)
			=		|	|	(		−		− )	(6.20)
				2 2

пропорциональна квадрату соответствующего матричного элемента. Последнее выражение получило название “золотого ” правила Ферми.

69

Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме чисел заполнения.

Рассмотрим полный гамильтониан системы N тождественных невзаимо-

действующих фермионов ̂ = ∑=1 ̂ ,

частным решением которого является произведение

	Φ( , …				) = ∏	( ),
		1	2		=1
где	{ }- ортогональная	система		собственных			функций одночастичного
уравнения Шредингера		̂
		= .

Так как мы имеем дело с системой тождественных фермионов, то её волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары частиц. Это-

го можно добиться, представив волновую функцию Φ( ,																…	) в виде де-
															1 2
терминанта Фока - Слэтера
								( )		( ) …				( )
							1	1	1		2	1
Φ		( ,	… ) =		1		|				.				|		(П1.1)
	k1,k2,..kN
		1 2		√( !)							.
								( )			( ) …				( )
								1			2

Индекс нумерует одночастичные состояния. Если два любых индекса совпадают, то волновая функция обращается в ноль. Как правило, используется стандартная последовательность - 1 < 2 … . < . Для краткости выражение (П1.1) записывается в форме

Φ	k1,k2,..kN	( ,	…	) = |	,			, . . , … ,	(П1.2)
		1 2		1			2
где символ обозначает число частиц, находящихся									в собственном состоя-
нии i с волновой функцией . Числа							называются числами заполнения, а

(П1.2) – записью координатной части волновой функции многих частиц в представлении чисел заполнения. Для фермионов все числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1. Важно отметить, что, так как { } образуют полную ортогональную систему собственных функций, то детерминанты Фока – Слэтера также образуют полную ортогональную систему функций. Для бозонов числа заполнения могут принимать любые значения

0,1, 2,….

70

Формализм чисел заполнения особенно удобен, когда полное число частиц N может изменяться от 0 до ∞. Система базисных функций для этого случая показана в Табл.1.

Таблица 1.

N	Φ	k1,k2,..kN	| , , . . , …
			1 2
0		Φ0	|0, 0, . . …
1	Φ1 , Φ2 , Φ3…		|1, 0, 0. . … , |0, 1, 0,0 … , |0, 0, 1,0. .
2	Φ12, Φ13, Φ23 …		|1, 1, 0, 0. . … ,	|1, 0,1,0 … ,
			|0, 1, 1, 0, 0 …

и

т.д.

Состояние Φ0 = |0, 0, . . … без единой частицы называется истинным “вакуумом”. Совокупность всех функций | 1, 2, . . , … образует полную ортогональную систему в обобщённом гильбертовом пространстве, где число частиц переменно.

До сих пор мы рассматривали только систему независимых фермионов. В присутствии взаимодействия многочастичные волновые функции должны выражаться в виде линейных комбинаций типа

= Φ	0	+ ∑	Φ +	∑	1, 2	Φ	1, 2	+ =
			1 1
		1		1< 2

=	∑	1	, 2	,.. .		, 2,.. ,…	|	,	, . . .	(П1.3)
					1		1	2

Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения (вторичного квантования).

Представим себе исходную систему, которая находится в состоянии Φисх.= |1, 0, 0. . . Пусть теперь эта система подверглась внешнему воздействию ̂, в результате которого она перешла в состояние |0,1, 0, 0. . … . Дру-

71

гими словами, действие оператора сводится в уничтожению частицы в одном состоянии и создании (рождении) частицы в другом. Чтобы описать все воздействия в системе, вводят два основных оператора: оператор уничтожения с , который уничтожает частицу в состоянии ( ), и оператор рождения †, который рождает частицу в состоянии ( ).

Для фермионных операторов вводятся правила:

				†|			, , . .			, … =	(−1) 1+ 2					+.. −1 (1 − )				|		, , . .			+ 1, … ,
						1	2													1		2
				с	| , , . .				, … =		(−1) 1+ 2+.. −1							| ,		, . . − 1, … .						(П2.1)
						1	2											1	2
Отсюда следует, например, что:
							с	| , , . . 0				, … = 0,					†| , , . . 1					, … = 0,
								1 2										1	2
с	3	|1, 1, 1,1,0,0. . = |1, 1, 0,1,0,0. . ,														†|1, 1, 1,0,1,0. . = |1, 1, 1,1,1,0. . ,
															4
†с			3	†с	2	†с |1, 1, 0,0,0. .					= †с		3	†с		2	†|0, 1, 0,0,0. . =. . . =
	2			1		3	1					2			1		3
−|1, 1, 0,0,0. . (перестановка двух частиц).
		Все состояния можно получить, действуя операторами †																					на функцию ос-

новного состояния

Φ0 ≡ |0 = |0, 0, . . … .

Из (П2.1) следует, что операторы † и с “эрмитово сопряжены” друг с другом, т.е.

† = (с		)†,	(П2.2)

где знак “†” соответствует эрмитову сопряжению. Отсюда следует, что сами операторы † и с неэрмитовы и поэтому не отвечают наблюдаемым переменным. Легко показать, что оператор ̂ = †с , который называется оператором числа частиц, является эрмитовым оператором. Оператор полного числа частиц ̂ = ∑ †с также эрмитов. В общем случае, из (П2.1) следует, что

†с	|	,	, . . , … =		|	,	, . . , … .	(П2.3)
	1	2			1	2

72