KMSF-Chast1-new

Приравнивая нулю слагаемые с одинаковыми степенями k, получаем:

1)при

2)при

k k 1

1 b	2		0		, откуда следует, что		= 0 или = 1;
1 b 1		1		0		, откуда = 0 или = -1.

Начало ряда со степени = -1 не годится, поскольку слагаемое -1 расходится при 0. В общем случае из равенства коэффициентов

k 2 k 1 b				k 2 2		1 2k b	k	0
		k 2				k
находим рекуррентное соотношение
b		2k 1			b .
		k 2 k 1
k 2						k

(3.58)

Общее рекуррентное соотношение позволяет вычислить коэффициенты ряда через единицу. Ряды могут начинаться с = 0 или с = 1. Итак, имеем в ответе два ряда:

u			b	b			2	b			4	b			6	...
	1		0			2				4				6
	u		b		1	b			3	b			5	b			7	...
		2	1				3			5				7

(3.59)

Ряды (3.59) расходятся, однако решение существует, если ряд оборвать и сделать конечным. Оборвать ряд u можно с помощью выбора параметра . Оборвать ряд - это означает приравнять коэффициент bk+2 в соотношении (3.58) нулю, откуда следует, что

2k 1 0 .

(3.60)

Поскольку k есть порядковый номер членов ряда, то это целое число и тогдатакже целое число. Поэтому

2n 1

,

где n = 0,1,2,3,...

Вспоминая выражение для , находим разрешенные уровни энергии

E				n	1		,
	n
					2

(3.61)

(3.62)

где n = 0,1,2,3,... Итак, мы получили эквидистантный спектр энергий одномерного осциллятора, когда уровни энергии находятся на одинаковом рас-

43

стоянии друг от друга. Это расстояние равно энергии кванта . Низший уровень энергии отличен от нуля и составляет половину энергии кванта .

Получающиеся конечные ряды u( ) называются полиномами Эрмита и обозначаются H n . Для нескольких значений n имеем:

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

H	0	1
H		2
	1
H			4		2		2
		2
	H			8		3	12
		3

и так далее. Коэффициенты в полиномах Эрмита для удобства выбраны так,

что коэффициент при максимальной степени

равен

b

n

2

n

. Все остальные

коэффициенты bk в ряду тогда определяются рекуррентной формулой, в которой = 2n+1:

b		k k 1		b		k k 1	b
						2 n k 2
k 2		2k 4	2n	k			k

.

(3.63)

Можно привести замкнутую формулу для получения полиномов Эрмита

H n 1				2	d	n			2
	n	e					e			.
					d
						n

Итак, полное решение уравнения Шредингера имеет вид:

(3.64)

		C					2				,
	n		n	exp					H	n
						2

		m	x

.

(3.65)

Коэффициенты Cn находятся стандартным образом из условия нормировки

n	2	d 1.

Подставив в интеграл выражение для одного из полиномов

Эрмита из замкнутой формулы (3.64), получаем

n

1

	1
		2	2
			Cn
m

	e 2 e 2	H n		d n
				d n

			1
2	n			2	2
e	d 1				Cn
	m

	H n		d n	e 2 d 1
			d n

44

Интеграл можно взять n раз по частям, при этом все свободные члены обращаются в нуль на бесконечности из-за убывания волновой функции. Тогда

H

Из (3.64) следует, что

d

n

2

e

d

n

d

n

d

n

H

n

2

n

n!.

d

n

1			2	d	n		Hn d .
	e					n
n
				d

Теперь под интегралом остается только

экспоненциальная функция, и интеграл представляет собой известный таб-

личный интеграл

					1
1	1				2	C	2	2	n
n	n
		m					n

exp
n!	1

2 d

,откуда

.		Условие нормировки принимает вид :
C				1	.	(3.66)
	n
		2	n	n!
					m

Волновые функции низших состояний:

				m						1								2					m				1								m x		2
											4																4
		0										exp																exp										,
																	2																		2
			m		1										2							1	2		m			3									m x		2
						4														2									4
								2 exp														1								x exp										,
1			4											2																								2
																								4
												m				1		2														2
																4
																					2
						2																	1 exp											,
												4																			2
											m				1		2																2
																4
																						2
					3																			1 exp										.
											9																					2
Волновые функции с разными n ортонормированы
												x n x dx
																						mn .
								m

(3.67)

45

| n|2

n | n|2

| n|2

n

0

						E					7
	n=3							3			2
	n=2			E						5
						2				2
n=1		E					3
		1					2
n=0	E				1
		0			2

x

Рис.3.8. Спектр, волновые функции n и соответствующие им плотности вероятности одномерного квантового осциллятора.

Волновые функции n и соответствующие им плотности вероятности (пунктир) показаны на рисунке 3.8. Из решения видно, что имеются четные и нечетные состояния. Отметим, что с ростом энергии волновые функции и плотности вероятности имеют большое число осцилляций внутри “классически разрешенной” области. Причем возрастает амплитуда и вероятность находиться частице у границы потенциала. Это не удивительно, так как с ростом номера уровня распределение плотности вероятности приближается к классическому распределению вероятности нахождения частицы внутри такой ямы.

§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения

Существует более простой и современный метод решения уравнения Шредингера гармонического осциллятора, основанный на представлениях об операторах рождения и уничтожения. Кроме того, в этом параграфе воспользуемся формализмом Дирака.

46

Введем операторы:
				1																					21			̂
				̂ =						( +				)			= (						)			(̂ +			),
					√2																2
						1																			1			̂
				̂+ =							( −				) =			(						)2		(̂ −				),
						√2															2
			1																	1											m
̂ = (		)2		( ̂ + ̂+),							̂ = (							)2 (̂+ − ̂ )										, x
	2															2

Прямым вычислением легко показать, что их коммутатор

[ ̂, ̂+]=1.

.

(3.68)

(3.69)

Гамильтониан одномерного квантового осциллятора записывается с помощью этих операторов в виде

̂

2

2

(̂

+

+

) = (̂

+

1

=

2

(−

2

+

) =

2

̂ + ̂ ̂

̂ +

2

).

(3.70)

Удобно определять в дальнейшем энергию в единицах , тогда

̂

=

(̂+ ̂ +

1

).

Используя (3.69), нетрудно показать, что

2

̂

+

= ̂

+

̂

̂

̂

(3.71)

̂

( + 1 ),

̂ = ̂( − 1) .

Пусть n -

нормированное собственное

состояние с энергией

En = n+1/2,

т.е.

̂

n

= (n + 1/2) n .

(3.72)

n =

Тогда ̂+ n и ̂ n - с о б с тв е н н ы е состояния (ненормированные) с энергией +1 и −1 соответственно. Действительно,

̂	+	n = ̂	+	̂	+	n ,	(3.73)
̂				( + 1) n = (En + 1)̂
̂				̂			(3.74)
̂ n = ̂( − 1) n = (En − 1)â n .

Таким образом, действие оператора ̂+ на состояние n переводит его в состояние n + 1, то есть повышает энергию состояния

47

на единицу, ̂+ n = сn n + 1 , а действие оператора a на состоя-

ние n переводит	его в состояние n − 1 ,	то есть понижает
э нергию состояния н а е д и н и ц у .
Интерпретация:	состояние n содержит	n одинаковых частиц
(квантов) с энергией E = каждая. Оператор		̂+ называют повыша-

ющим оператором или оператором рождения такой частицы, а оператор ̂ - понижающим оператором или оператором уничтожения. С о - с т о я н и е 0 , с о о т в е т с т в у ю щ е е у с л о в и ю n = 0 ( о т с у т с т в и ю в о з б у ж д е н и й ) н а з ы в а е т с я о с н о в н ы м с о с т о я н и е м . П о н и з и т ь

э н е р г и ю э т о г о с о с т о я н и я н е л ь з я ,

п о э т о м у э т о с о с т о я н и е

д о л ж н о у д о в л е т в о р я т ь у р а в н е н и ю

̂ 0 = 0.

Заметим, что собственные значения оператора

̂ = ̂

+

̂

(3.75)

̂ = − 1/2

равны n, поэтому ̂ называют оператором числа частиц.

Найдем коэффициент cn . Для этого вычислим норму

вектора

̂+ n :

+

̂

2

=

|̂ ̂

,

√

+

1

.

(3.76)

| = | + 1/2| = + 1 =

Таким образом, нормированное состояние n должно быть определено, как

	n =	( ̂+)			0 .	(3.77)
		√ !

Отличные от нуля матричные элементы операторов рождения и уничтожения равны

|

+|

=

|

|

̂

= √ + 1

.

(3.78)

+ 1 ̂

+ 1

Прямым вычислением легко показать, что

̂+ n = √

̂ n = √

| − 1 ,

+ 1| + 1 ,

̂ n = ̂+ ̂ n = ̂+√

| − 1 = n n .

48

Как уже отмечалось, волновая функция основного состояния 0 ≡ Ψ0( ) может быть найдена из условия

̂ 0 = 0.										(3.79)
Это сразу же дает
Ψ0( ) =	e−ξ2/2				.					(3.80)
	4
	√π
Д ля волновой функции с n >0 получаем компактное выражение
	( ̂	+				−ξ2/2
n ≡ Ψn( ) =		)				e			.	(3.8 1 )
						4
	√ !
						√π

Очевидно, что эти состояния (волновые функции) ортонормированны. Это легко показать, используя соотношения коммутации ( 3.69) и условие (3.79).

Квантовый осциллятор в электрическом поле. Гамильтониан одномер-

ного осциллятора в электрическом поле F , направленном вдоль оси х, имеет вид

̂

2

2

+

1

) + (̂ + ̂

+

),

= −

2

+

2

+ = (̂

̂ +

2

(3.8 2 )

где = (

)1/2.

2

̂

̂+

+

Введём операторы

= ̂ +

и

= ̂

+

, тогда

̂

̂+ ̂

1

2

(3.8 3 )

=

( +

2) − / .

Все коммутационные соотношения для новых операторов совпадают с коммутационными соотношениями для операторов ̂ и ̂+. Очевидно, что

̂	1		2
n = [ (n +		) −		] n ,	( 3.8 4 )
	2

г д е

49

n = (̂+) 0.

√ !

Рассмотрим оператор координаты

1

̂ = (2 )2 ( ̂ + ̂+ − 2 ).

В отсутствии поля все малые колебания происходят вокруг Электрическое поле просто сдвигает положение ̂ из нуля

1

0 = 2 (2 )2.

Глава 4. Момент импульса

§4.1. Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента импульса

ˆ	ˆ		ˆ
L r , p i r ,
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
L Lx e x		Ly e y Lz e z ,

где проекции оператора момента импульса:

( 3.8 5 )

(3.8 6 )

̂ = 0.

в точку

(4.1)

(4.2)

ˆ						z
L	x	i y						,
					z
							y
ˆ		i		z		x
L								,
	y
					x		z
ˆ						y
L	z	i x						.
					y
							x

(4.3)

Вычислим коммутатор

двух проекций момента импульса, используя извест-

ное нам соотношение коммутации [

, ] = 1 :

ˆ

ˆ

2

Lx

, Ly

y

z

z

z

x

x

z

z

x

x

z

y

z

y

z

y

(4.4)

2

ˆ

y

x

i

i x

y

i L

.

x

y

x

z

y

Для остальных проекций момента импульса получаем:

50

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

.

L

, L

y

i L

L

, L

i L

L

, L

i L

y

x

z

y

z

x

z

x

(4.5)

Так как коммутаторы в (4.5) отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Сле-

довательно, и вектор момента импульса		не имеет определенного направле-
	L

ния в пространстве. Кроме соотношения (4.5), выполняются следующие правила коммутации, которые в сжатом виде можно представить, как ( = 1):

[̂	,	] =	̂	, [̂	, ̂] =		.	(4.6)

Здесь – единичный псевдотензор третьего ранга. Он равен нулю, если
любая пара индексов совпадает, равен единице в случае 123	= 231 =

312 = 1 и меняет знак при перестановке соседних индексов. Рассмотрим те-

перь более подробно оператор

̂2 = ̂2

+ ̂2 + ̂2

. Введём операторы

̂ =

+

̂

+ ̂

, ̂

= ̂

− ̂

, для которых имеют место соотношения:

−

[̂

, ̂

−

]

= 2̂

,

[̂ , ̂ ] = ̂

+

,

[̂ , ̂

−

] = −̂

−

.

(4.7)

+

+

В терминах этих операторов квадрат момента импульса

̂2 = ̂2 + ̂2

+ ̂2

= ̂

+

̂

+ ̂2 − ̂

= ̂ ̂

+ ̂2 + ̂

(4.8)

−

− +

Из (4.8)

и (4.7) сразу же следует, что

[̂2, ̂ ] = 0.

Таким образом, в кванто-

вой механике векторная величина момента импульса не может иметь определенного значения. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и

	одна из его проекций, которая не может совпадать с модулем
		L .

§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе координат

Поскольку нас будет интересовать приложение теории момента импульса к движению частицы в центральном поле, то необходимо определить его в сферической системе координат (r, , ):

x rSin Cos ,

y rSin Sin ,

z rCos

(4.9)

Пусть меняется только одна координата - угол , т.е. осуществляется вращение вокруг оси Z, тогда

51

x

y

z

rSin Sin

rSin Cos

0

y

x

,

x

y

z

x

y

z

y

x

i				y			ˆ	.
		i x					L
			y				z
					x

Решим уравнение на собственные значения и собственные функции тора проекции момента импульса .

i		L .
		z

Решением этого уравнения является функция

(4.10)

опера-

(4.11)

		i
			L			.
	m	A exp
			z

(4.12)

Понятно, что функция должна остаться той же (без учета спина) при поворо-

те		на	2 ,	т.е.	m m 2 .	Подставляя сюда (4.12), получаем
		2	= 1	= 2,
					откуда следует,	что

L	z	m ,	m 0, 1, 2, 3,...

(4.13)

Число m определяет проекцию момента импульса частицы Lz и называется

магнитным			квантовым числом. Подставляя (4.13) в (4.12), получаем
m Ae	im	.	Коэффициент А определяем из нормировки собственной функ-

ции:

2			2
	*	2	e	im		im		2
	m m d A				e		d 2A
0			0

1

,=

1 . √2

Легко видеть, что собственные функции ортонормированны –

2

m* ' m d m'm .

0

Итак, проекция момента импульса на произвольное выделенное направление Z квантована, т.е. она может принимать только значения, кратные значениям . Остальные две проекции момента импульса не определены.

52