KMSF-Chast1-new

В одномерной потенциальной яме хотя бы один уровень существует всегда, но это не так в трехмерной потенциальной яме. Для нее существование хотя бы одного уровня зависит от “мощности” потенциальной

ямы:	2	0	, где U0 – глубина ямы, а a – ее размер. При малых мощностях ямы
	a U

энергия частицы тоже должна быть малой, т.е. частица имеет большую волну де Бройля, и она как бы не “помещается” внутри ямы.

§3.3. Потенциальные барьеры

Одномерный потенциальный барьер определяется зависимостью потенци-

			альной энергии от координаты U U x .
U			Если на каком-то участке координаты x
			потенциальная энергия возрастает (или
	U0		падает), то говорят об одномерной по-
			тенциальной ступеньке.
0		x	Рассмотрим задачу, когда на одномер-
x			ную потенциальную ступеньку налетает
			частица. Если выполняется условие, что

размер области изменения потенциальной энергии x мал по сравнению с

волной де Бройля частицы

x

2 mv

, то тогда можно считать барьер прямо-

угольным, для которого

0,			x 0
U x		,	x 0
U	0

.

В классическом случае, если энергия налетающей частицы E < U0, то частица с достоверностью отражается и в правую область не проникает. Если ее энергия E > U0, тогда частица с достоверностью проходит над барьером и в

правой области она движется с меньшей скоростью v m2 E U 0 . В рамках

квантово-механического рассмотрения решается уравнение Шредингера в области до порога x < 0 и после порога x > 0, а затем решения “сшиваются” на границе (x = 0).

33

Прямоугольный потенциальный барьер.

Пусть на прямоугольный потенциальный барьер (Рис.3.6) слева падает поток частиц с полной энергией E U 0 , меньшей величины барьера.

	U
E	U0
I	II		III
	0	a	x
			U0
2A			2G
E
	0	а

Рис.3.6. Прохождение частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер.

Потенциальная энергия

	0,				x 0
U x				,	0 x a
	U		0
		0,			x 0

(3.25)

Разобьем пространство на три части I, II и III. В I и III областях имеем уравнение Шредингера для свободной частицы:

	2		d 2	E ,	" k 2 0,	k		2mE		.	(3.26)
	2m dx2
								2

Его решения:

I область

x Aexp ikx B exp ikx

,

(3.27)

III область

x G exp ikx .

(3.28)

Во II области имеем:

34

		2	d	2								1	2m U 0	E .
							U 0	E ,	"	0,
									2
	2m dx					2

Соответствующее решение под барьером

x C exp x D exp x

(3.29)

(3.30)

Волна exp(ikx) движется в положительном направлении оси x, а волна exp(-ikx) - в обратном. В III области не будет волны в обратном направлении оси x, т.к. из бесконечности нет потока частиц. Окончательно

	A exp ikx B exp ikx		x 0
x			0 x a
	C exp x D exp x
		G exp ikx	x a

.

(3.31)

На границах полная волновая функция и ее первая производная непрерывны. Эти граничные условия дают систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D и G.

При x = 0

	A B C D
ik A B C D

.

(3.32)

При x = a

		C exp a
		C exp a



D exp D exp

a G exp ika a ikG exp ika

.

(3.33)

Введем коэффициенты отражения и прохождения как отношение плотностей потока

i

* * .

(3.34)

j

2m

В I области поток вправо определяется волной, распространяющейся вдоль

оси x, 1

Aexp ikx . Поэтому

j

i

A2 exp ikx ik exp ikx A2 exp ikx ik exp ikx

k

A2

(3.35)

1

2m

m

Поток влево в I области определяется волной 2

B exp ikx , а

j2

i

ikB2

k

B 2

(3.36)

2m

m

35

Коэффициент отражения определяется

	j			B	2
R		2
	j			A
		1

(3.37)

Коэффициент

G exp ik	x ,
3

прохождения (поток пройденной волны определяется волной

k3

k1 ):

	j			k		G	2		G	2
T		3			3					(3.38)
	j			k		A	2		A
					1
		1

В первой паре уравнений (3.32) сложим два уравнения, избавляясь от коэффициента В.

2 A i			i			i		(3.39)
		C D C D C 1			D 1
	k			k			k

Во второй паре уравнений (3.33) делим на второе уравнение, затем складывая и вычитая, получаем следующие два соотношения:

2Ce

a

Ge

ika

i

k

,

2De

a

Ge

ika

i

k

1

1

Выражая отсюда 2С и 2D и подставляя их в предыдущее уравнение, имеем

4 A

1 i

1 i

Geika a

1

i

1

i

Geika a .

k

k

k

k

Раскрывая скобки, получаем

4 A 2Ge

ika

e

a

e

a

iGe

ika

k

a

e

a

.

e

k

Введем гиперболический косинус и гиперболический синус:

Ch a

1

e

a

e

a

,

Sh a

1

e

a

e

a

.

2

2

Для них выполняется теорема Пифагора

Ch 2 a Sh2 a 1.

ika

ika

k

Тогда:

2 A 2Ge

Ch a iGe

Sh a ,

k

36

	2		2		2			k	2
									2
4A		G		4Ch a					Sh a .
						k

Теперь, раскрывая скобки и учитывая теорему Пифагора, получаем для отношения квадратов:

Здесь

G	2							4
A	2										2
								k
		4										2	a
												Sh
				k
										2
						4
T	1						k
						2	Sh a 4
			2											2
								2
				k	2

		U	0	E		U	0	1 .
k				E		E

 1

k	2

2 k 2

1 1

		4
			k
		2
		Sh

	2
4	2

2 2

2 a

1
		2
k	2
k	2

,

		2
4	k	2

. (3.40)

Sh2 a

Результирующее выражение для коэффициента прохождения имеет вид

T		1
	U	2			2	a
1		0	Sh
	4E U			0	E

.

(3.41)

Исследование коэффициентов прохождения и отражения. То, что ко-

эффициент прохождения не равен нулю при полной энергии частицы меньшей потенциального барьера E < U0 – называется туннельным эффектом. В классической физике ничего подобного нет, туннельный эффект – чисто квантовый эффект.

При условии a >> 1 можно получить для коэффициента прохождения Т:

				2			2						2
		4		k		2				16		k		exp		2
T																	a	2m U		E		,
	1			2						1									0
					exp(2 a )								2
		2	2								2		2
		k										k

37

или			2		2m U	0	E
				a					.
	T ~ exp

Коэффициент отражения определяется соотношением

	R	B
		A

2

. Подставляя

решения системы уравнений (3.32) - (3.33), получаем

	k														U 0 Sh			a
			2					2		2						2	2
												2	a
			4k		2			2			Sh				4E U 0		E
R																				.
		k														U 0 Sh			a
				2						2	2					2		2
	1											Sh		a	1
				4k									2			4E U 0 E
							2			2

Как и должно быть из закона сохранения вероятности

R T 1 .

(3.42)

(3.43)

Случай E > U0.

Решение получается тем же путем, как и ранее, только

решение, описывающее движение свободной частицы с

вобласти

1 2m

II имеем

E U		. В
0

итоге мы получаем те же формулы для коэффициентов прохождения и отражения, только " " меняем на "i " и "Sh" на "-iSin":

						4
									2
							k																	1
T																											,	(3.44)
						2																				2
				2				2								2								2
						Sin			a
1			k									4			k				1				k
																										2
																		1									a
																				4						Sin
																								2
																						k
													2 2				2
																Sin a
							1				k
		R																			.							(3.45)
										2	2				2				2
												Sin a							k
					1			k										4

В общем случае мы имеем коэффициент отражения не равный нулю R 0 (и T 1), т.е. частица может отразиться от барьера и при энергии, превышающей величину барьера, когда по классической механике частица проходит с достоверностью над барьером.

Однако, есть характерные энергии, когда коэффициент отражения равен 0, а коэффициент прохождения равен 1:

38

Sin a 1				a n							2		2m		E U
														2		0
					2		2
E		U						n	2
	n		0		2ma		2

(3.46)

При таких энергиях частица пролетает над барьером с достоверностью и при квантовом рассмотрении. Заметим, что при этом целое число полуволн де Бройля укладывается на барьере, чему соответствует условие a n .

Аналогичное решение для коэффициентов прохождения и отражения получаем для барьера в виде прямоугольной ямы, при этом меняется только

"U0" на "-U0".

Отметим, что в общем случае коэффициент отражения не равен нулю. Коэффициент прохождения обращается в единицу только для таких энергий когда на размере ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

Барьер произвольной формы.

Если барьер U = U(x) произвольной формы, то задачу о прохождении частицы можно решить приближенно. Пусть E = const и тогда равенство E = U(x) определяет 2 точки a и b, где частица классически “входит” и “выходит” из барьера. Сам барьер можно представить в виде суммы прямоугольных барьеров, причем каждый из них рассматривать отдельно, как ранее.

U(x)

x

1

x1

2

x2 x

Рис.3.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер произвольной формы.

39

Приближенно задачу можно решить, если барьеры достаточно широкие, и при этом импульс p(x) и соответствующая волна де Бройля 2 p x медленно меняются на расстоянии ~ . Это условие называется условием применения квазиклассического приближения. В самом деле, воспользуемся описанием изменения волновой функции при распространении частицы в

					x 0 e	i	px
	пространстве с постоянным потенциалом, а именно:								где p(x) =
								,
		i	Et
	const (временной множитель e			не существенен для определения коорди-

натной зависимости). Разбивая барьер на маленькие прямоугольные барьеры шириной x, можно считать, что на ширине x такого барьера U(x) = const и импульс частицы не меняется p x 2m E U const . Можно записать последовательность приближенного изменения волновой функции при переходе от одного барьера к другому:

	x x x e	i	p x x
				,
	x 2 x x x e				i	p x x x
								,
	x 3 x x		2 x e			i	p x 2 x x

………

Тогда связь волновой функции на выходе из барьера с волновой функцией на входе записывается, как

exp

i

p x x p x x x p x 2 x x ...

i

x2

exp

p x dx .

2

1

1

x

1

Коэффициент прохождения через барьер произвольной формы

2

x2

2

x2

2

2

i

1

T

1

exp

p x dx

exp

2m U x E dx .

x1

x1

Здесь мы поменяли местами потенциальную и полную энергии частицы. В итоге

			2	b
	T T0	exp			2m U x E	dx .	(3.47)
			a
					40

Выражение (3.47) позволяет найти коэффициент прохождения через барьер произвольной формы в квазиклассическом приближении.

§3.4. Линейный гармонический осциллятор

Классический осциллятор. Задача об осцилляторе одна из самых важных задач в механике, электромагнетизме и в квантовой механике. Сложное периодическое или колебательное движение можно свести к совокупности нормальных колебаний, эквивалентных гармоническому осциллятору. Напомним рассмотрение осциллятора в классической механике. Упругая воз-

вращающая сила равна F kx , при этом уравнение Ньютона имеет вид
mx kx .	(3.48)

Колебательное движение (осциллятор) описывается уравнением

x	2	,	где	k	.
	x 0
				m

(3.49)

Решение данного уравнения - x(t) aCos t . Энергия гармонического осциллятора может принимать произвольное значение.

Квантовый осциллятор. Уравнение циллятора (U(x)=kx2) имеет вид:

			d x			m		x
		2	2				2		2
	2m		dx	2		2			x

Шредингера для одномерного ос-

E x .

(3.49)

Граничные условия состоят в том, что волновая функция убывает на боль-

ших расстояниях	( ) 0 .				Перепишем уравнение (3.49)
		2m			m 2 x2
	"			E		0,	(3.50)
			2
					2

и введем новые обозначения:

2E

, x

m

,

x

2

2

.

(3.51)

m

d 2

Вычислим производные

d

d

d

m

,

m

и подставим их

d dx

dx2

dx

в (3.50). Тогда

41



При это уравнение

	2	0 .

следует заменить уравнением

(3.52)

		0.
2

Его решением является функция exp																	2	, вторая производная которой
равна				1 exp							. Для простоты еще раз воспользуемся тем, что
	2 2		2						2
.	Тогда	4						exp							,	и имеет место					4				exp				exp			0.
					2		2							2								2		2		2		2			2
Отсюда следует, что					= ±							1	,		∞( ) = 1 exp (−								2	) + 2 exp (					2	) , С2 = 0.
											2											2							2
																				2
Итак, решение на бесконечности																						Общее решение запишем
																exp				2	.

в виде

																								2
														u exp												u .
																								2
							2				2									2	u
								u e
				e		2				2							e		2								2
												u												u				u u u

2

e 2 u 2 u 2 1 u .

Подставляя (3.54) в (3.52), получаем

u 2 u 1 u 0.

Решение ищем в виде ряда по степеням :

u b

b

1

b

2

...

b

k

,

1

2

k

k

k 1

k 2

u kbk

,

u k k

1 bk

.

k

k

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Начальную степень (которая может быть отрицательной) определим из условия, чтобы u( ) нигде не обращалась в бесконечность. Тогда из (3.55):

k

k 2

2

k

k 1

k

k 0,

k k 1 b

kb

1

b

k

k

k

2kbk k 1 bk k 0.

k k 1 bk k 2

(3.57)

k

42