KMSF-Chast1-new

Для фермионных операторов рождения и уничтожения выполняются коммутационные соотношения:

{с	, †} = с † + †с				= ,	{с	, с	} = { †, †} = 0.		(П2.4)

В коммутационных соотношениях уже заложены свойства антисимметрии волновой функции по отношению к перестановкам частиц.

Все операторы квантовой механики можно записать в виде различных комбинаций этих двух операторов. Для этого потребуем равенства матричных элементов оператора, вычисленных в формализме чисел заполнения (вторичного квантования), и в обычном формализме квантовой механики. Тогда одночастичный оператор ̂ ( ) с матричными элементами

̂

= ∫

( ) ( )

в представлении чисел заполнения будет иметь вид

̂

=∑

†

с

.

(П2.5)

Чтобы убедиться в этом,

достаточно рассмотреть

< 0,0, 1

̂

, 0 … |∑

†

с

| 0, 0, . . 1 , . . =

, 0 … | |0, 0, . . 1 , . . =< 0,0, 1

= ∑

< 0,0, 1

, 0 … | †с

|0, 0, . . 1 , . . = ∑

= .

Аналогичным образом показывается, что двухчастичный оператор (потенциал межэлектронного взаимодействия

12 ∑≠ ( − ))

принимает вид

̂

=∑

†

†

с

с

,

(П2.6)

где	= ∫ ∫ ′	( ) ( ′)		( ) ( ′).	(П2.7)

73

Результаты (П2.5) и (П2.6) остаются справедливыми и для бозонов. При этом надо только изменить соотношения антикоммутации (П2.4.) на соот-

ношения коммутации.

Таким образом, многочастичный гамильтониан системы N взаимодействующих электронов (в поле N ионов) во внешнем потенциале ̂ ( )

2

1

̂

̂

̂

+

∑

̂

( )

= ∑ [

+ ( )]

( − )) +

2

2

≠

=1

на языке вторичного квантования записывается в виде

̂

∑

̂2

̂

( )|

†

+ ∑

†

†

+ ∑

̂

†

=

|

+

с

с

с

с

=

2

.

= ∑

†

с

+ ∑

†

†

с

с

+ ∑

̂

†

с

,

(П2.8)

.

где

{

} и

{ } – собственные функции,

и собственные значения одноча-

̂

̂2

̂

стичного оператора =

+ ( ) .

2

Ксожалению, из-за наличия слагаемых типа † †с с для решения уравне-

ния Шредингера с гамильтонианом (П2.8) приходится прибегать к целому ряду приближений, вводя модельные гамильтонианы. В твердом теле важнейшими модельными гамильтонианами являются:

гамильтониан Хаббарда -

̂

†

с

+ ∑

̂

̂

,

(П2.9)

= ∑

̂

.

(П2.10)

гамильтониан Гейзенберга - = ∑

В последнем выражении - параметры обменного взаимодействия Гейзен-

берга между атомными спинами и .

Литература.

1.Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (серия Теоретическая физика, том 3), Москва, Физматлит, 2001г.

2.И. Е. Иродов, Квантовая физика, Москва, Физматлит, 2002г.

3.Д.И. Блохинцев, Основы квантовой механики. Москва, Высшая школа,

1983.

74

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение	4
§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм	4

§1.2.	Волны де Бройля и их экспериментальное подтверждение 6
§1.3.	Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение

неопределенностей		10
Глава 2. Математический аппарат квантовой механики		15
§2.1. Уравнение Шредингера		15
§2.2. Операторы. Собственные функции и собственные значения 19
§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства		24
§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака		30
§2.5. Дифференцирование операторов по времени		32
Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении		33
§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими
стенками		33
§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными		37
§3.3. Потенциальные барьеры		44
§3.4. Линейный гармонический осциллятор		54
§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора
при помощи операторов рождения и уничтожения		62
Глава 4. Момент импульса		66
§4.1. Момент импульса в квантовой механике		66
§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе
координат	68
75

§4.3. Оператор квадрата момента импульса в сферической
системе координат		70
Глава 5. Физика атомов.		71
§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле. Разделение
	переменных	71
§5.2.	Уравнение для радиальной части волновой функции.
§5.3.	Уравнение для угловой части волновой функции.

§5.4. Спин электрона. Состояния электронов в атоме.

Глава 6. Теория возмущений.

§6.1. Стационарная теория возмущений. §6.2. Нестационарная теория возмущений. §6.3. “Золотое ” правило Ферми.

Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме чисел заполнения

Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения Приложение 3. Гамильтониан Гейзенберга

76