KMSF-Chast1-new

Если оператор физической величины не зависит явно от времени, то

̂		1
	=		̂ ̂	(2.60)
			[ , ]

Отсюда следует, что среднее значение производной оператора, коммутирующего с гамильтонианом, равно нулю. Такие величины называются сохраняющимися величинами. Очевидно, что сохраняющейся величиной является полная энергия системы, т.к. гамильтониан всегда коммутирует сам с собой. Поэтому, для того, чтобы среднее значение физической величины сохранялось, необходима коммутация квантового оператора этой величины с гамильтонианом.

Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении

§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

Рассмотрим один из простейших случаев движения частицы

	когда одномерный потенциал			0	0 x a
		U
					x a, x 0
	Стационарное уравнение Шредингера
			2
				U E
		2m

для области внутри ямы принимает вид

вдоль оси x,

(3.1)

			2	d	2		x E .
		2m dx				2

Преобразуем уравнение (3.2) к виду:

d
2						k	0.
			2	0	,	2
dx		2	k

В (3.3) мы ввели волновое число k

k	2		2mE		.
				2

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Поскольку вне “ямы” потенциальная энергия равна бесконечности, можно ввести “естественные” граничные условия

23

0

Общее решение уравнения

a 0 .

(4.4) удобно представить в виде:

(3.5)

Asinkx Bcos kx

.

(3.6)

При x = 0	0 0 ,		откуда следует, что коэффициент В = 0. При x = а
a Asinka 0	, sinka 0	,	ka n , n = 1,2,3,... (Для значения n=0			волновая
функция тождественно обращается в ноль).
Из (3.4) следует, что
			=	2 2 2		(3.7)
				2 .

Мы получили условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку отличные от нуля решения имеются только для целых чисел n. Окончательно решение уравнения (3.3) имеет

вид

	n

	A sin	n
		a

x

. Эти функции являются собственными функциями га-

мильтониана при данных граничных условиях. Постоянную А находим из

	a	x
нормировки			2	dx
	0

Замечание об импульсе.

		a			n				1
	2			2				2
A			sin				x dx A			1.	Отсюда
		0				a			2

Внутри ямы гамильтониан ˆ ˆp 2

H

2m

A a2 .

и казалось бы, что

мы имеем коммутатор оператора импульса с гамильтонианом равным нулю

ˆ		ˆp
ˆp,H ˆp,			2
				0
		2m

и получаем при этом, что энергия Е и импульс р одновре-

менно измеримы. Однако, это не так. Собственная волновая функция им-

пульса

		ipx
	p	C exp

не удовлетворяет граничным условиям. Импульс

только по модулю имеемет постоянное значение, но сам импульс р не имеет определенного значения.

В окончательном виде собственные функции и энергии:

24

n x

2

n

sin

x

a

a

(3.8)

2

2

E

n2

n

2ma 2

Легко построить графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n. При n = 1 имеем низшее (основное) значе-

ние энергии частицы

		2		2
E					2
1		2ma

.

En	n(x)			| n(x)|2
		En
n = 4		n = 4

n = 3

n = 3

n = 2		n = 2
n = 1	x	n = 1	x
0	a	0	a

Рис.3.1. Графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n.

Расстояния между соседними уровнями

								2		2	2n 1 .
E	n	E	n 1	E	n		2ma			2

Оценим расстояние между уровнями для нескольких случаев:

(3.9)

1) Атомы или молекулы находятся в сосуде с размерами а ~ 1 см. Масса молекулы m ~ 10-23 г. Энергии квантованы, но расстояние между уровнями энергии

E		~	3.14 2 1.05 2 1054		n ~ 1030 n	эрг
	n
		1		10 23
				25

чрезвычайно мало. Для наших приборов они представляют практически сплошной спектр. Дискретность уровней никак не сказывается на движении молекул в таком сосуде;

2) В металле свободные или валентные электроны находятся в “потенциальной яме”, размеры которой пусть также порядка а ~ 1 см. Расстояния между уровнями при массе электронов m ~ 10-27 г равны

E		~ 10	26	n эрг 10	14	n эВ
	n

и дискретность уровней по-прежнему не сказывается на движении электронов в металле;

3) Для электронов, находящихся в яме с размерами порядка размеров атома а ~ 10-8 см, расстояние между уровнями весьма существенно

E		~ 10	10	n эрг 10	2	n эВ .
	n

Рассмотрим теперь 3-х мерную прямоугольную яму с бесконечными стенками. Пусть размеры ямы равны: a, b, c. Внутри ямы потенциальная энергия равна нулю: U = 0 при 0 x a, 0 y b, 0 z c. На границах U = . Движение частицы в яме происходит независимо вдоль осей x, y и z. Тогда волновая функция может быть представлена в виде произведения функций

8

sin

n1

x sin

n2

y sin

n3

z

n n n

abc

a

b

c

1

2

3

При этом энергия равна сумме энергий движений по всем трем осям:

						n		2		n	2		n	2
			2		2
En n n							1				2			3		при	n1, n2, n3 = 1, 2, 3, ....
1 2	3		2m					2		b	2		c	2
						a

(3.10)

(3.11)

Когда размеры ямы: a, b, c соизмеримы, либо a = b (b = c), либо a = b = c возникают вырожденные уровни энергии, когда одному и тому же значению энергии соответствуют несколько состояний, описываемых различными функциями.

§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками

26

Рассмотрим одномерную прямоугольную яму со стенками конечной высоты.

U0

E

x

-a0/2

0

a0/2

Рис.3.2. Одномерная прямоугольная яма со стенками конечной высоты.

Выберем начало координат на дне ямы симметрично относительно стенок:

	0 ,			a	x		a
U x				2			2
		,	x		a	; x		a
U	0
					2			2

(3.12)

Найдем сначала решения уравнения Шредингера внутри и вне ямы. Для получения общего решения необходимо “сшить” эти решения на границе ямы. При энергии частицы E > U0 имеем непрерывный спектр энергий, частица пролетает над ямой и может иметь любую энергию. В самом деле, внутри

ямы имеем уравнение

шение в этой области

		2m		E 0.
			2

x A cosk x
1	0

Вводя

B sin k x.
1	0

k			2m		E , записываем ре-
	0			2

Вне ямы имеем уравнение

		2m		E U
			2		0
	ние вне ямы					x

чаем, что любые ной спектр при E

	0.	Вводя волновое число k0		2m		E U 0	, получаем реше-
					2
	Acos k0 x B sink0 x		. Сшивая эти решения на границе, полу-

энергии частицы разрешены. Таким образом, имеем сплош-

> U0.

Рассмотрим подробнее случай, когда энергия частицы E < U0. В этом случае мы получаем дискретный спектр связанных состояний. Для двух областей:

				2	2		2mE
	|x| < a/2			k 0,	k					,	(3.13)
							2
	|x| > a/2	2 0,			2			2m		U 0 E 2 k 2 .	(3.14)
								2
						27

Введем оператор четности с помощью соотношения	ˆ
	P x x .

Собственные числа оператора четности могут быть получены, если повторно подействовать им на исходную волновую функцию. Тогда получаем, что

ˆ ˆ	2
PP x x x . Таким образом, значения собственных чисел = 1.
Для значения = 1, получаем		“четное” состояние, а для = -1, имеем “не-
четное” состояние. Поскольку		U x U x	, то оператор четности коммутиру-

ет с гамильтонианом рассматриваемой задачи

ˆ ˆ P,H

0

.

(3.15)

Из (3.15) следует, что все собственные функции гамильтониана имеют определенную четность. Рассмотрим эти состояния поочередно.

Нечетные состояния. Запишем решения уравнений (3.13) и (3.14) для

нечетных состояний

	0
-а/2	а/2

Рис.3.3. Схематический вид нечетной волновой функции в прямоугольной яме

конечной глубины.

		A sin kx
			C exp x ,	x a
				2
				x a
		C exp x ,
				2

(3.16)

На Рис.3.3. показано, что частица проникает вне области ямы, при этом глубина проникновения частицы под барьер L ~ 1 .

Из условий непрерывности волновой функции и её производной на границе x = a/2 следует:

28

	Asin	ka			a			,
			C exp
		2				2
		ka					a
kAcos
			C exp					.
		2					2

(3.17)

Делением верхнего уравнения на нижнее уравнение получаем, что

	tg	ka		k	.
		2

(3.18)

Это трансцендентное уравнение определяет энергии разрешенных состояний. То же самое уравнение получим в силу симметрии из граничного усло-

вия при x = -a/2. Введем обозначение

t

ka 2

, тогда для правой части (3.18)

получаем

k			t						t						t
		a						2				2		2		2
						a			ka						t
			2
						2				2

,

где введен параметр мощности ямы:

		a			mU 0		.
			2

Для определения спектра надо решить трансцендентное уравнение

tgt		t		.
	2		t
				2

(3.19)

(3.20)

Рассмотрим решение этого уравнения графически, для чего построим отдельно правую и левую части уравнения. Точки пересечения дают корни этого уравнения. Из рисунка видно, что решения имеются не при всех . Чем больше мощность ямы , тем больше корней уравнения - больше уровней энергии. При уменьшении число корней уменьшается. А при мощности

		2	, т.е. при

					2				2		2
mU	a	2	2				2
0				4					2

,

29

корней соответствующих нечетным состояниям нет вовсе. Напомним, что t0 = 0 и E0 = 0 не являются корнями, т.к. при этом решение внутри ямы естьAx , которое не удовлетворяет граничным условиям.

tgt

/2		3 /2	2	t

			t
		2	t	2

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий нечетных состояний.

Итак, для нечетных состояний,

	- при мощности ямы
		2

получаем:

нет дискретных состояний;

-при мощности ямы

-при мощности ямы

т.д.

			3
	2		2

3 2 5 2

существует 1 нечетное состояние;

существует 2 нечетных состояний и

Четные состояния. Запишем теперь решения для четных состояний:

				B cos kx
		D exp x

На границе ямы при x = a/2 имеем:

(3.21)

30

		ka			a
	B cos							,
			D exp
		2				2
		ka					a
kBsin										.
			D exp
		2					2

(3.22)

Откуда получаем новое трансцендентное уравнение

	ka						2	t	2
tg				или	tgt
	2		k					t

.

(3.23)

В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при x = -a/2. Из графического решения этого уравнения видно, что при всех возможных значениях параметра хоть одно решение есть всегда. Чем больше , тем больше четных решений.

					tgt
		2	t	2
			t
0	/2				3 /2	2	t

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий четных состояний.

Итак, при мощности ямы получаем одно четное решение, при мощности2 получаем два четных решения и т.д.

Рассмотрим теперь “мелкую” яму, для которой << 1. Для такой ямы достаточно легко найти энергию единственного четного состояния (t << 1).

	tgt t		2	t 2
Из (3.23) следует, что						. Решая это уравнение, получаем
				t

31

t	2		2	t	4		2		4	.

Вспоминая, что

	t	ka
		2

и

	a	mU	0
		2

, записываем для

квадрата волнового числа

k	2		4		t	2		4		a
			a	2				a	2

2	mU				a
2		0	1
	2

2	mU				2mU					a
2		0				2	0	1
	2

2	mU
2		0	,
	2

а для энергии

	2	k	2			2	2m					ma		2							ma		2
E									U						U			U						U
								2		1			2			0			1			2			0	.
	2m				2m				0			2						0			2

Первый (четный) уровень энергии находится теперь у самого

(3.24)

“верха” ямы.

В одномерной яме с конечными стенками всегда существует хотя бы одно связанное состояние. При малой глубине и ширине (мощности) ямы в яме имеется только один четный уровень. С ростом U0 и a растет мощность ямы,

и появляются новые уровни при прохождении параметром значений

2

n

,

где n – целое число. Четные и нечетные уровни появляются по очереди, причем вначале четные. Качественное поведение волновых функции низших состояний показано на Рис.3.5. Возводя в квадрат эти волновые функции, получаем плотность вероятности нахождения частицы при данной координате.

				U0
n=3				3		E3
				2		E2
n=2
				1
n=1						E1
	-a0/2			0	a0/2 x

Рис.3.5. Качественное поведение волновых функции низших состояний.

32