1.3. Линейная зависимость, независимость, базисы.

Определение.

Выражение =₁х₁+₂х₂+…+_nх_n называется линейной комбинацией векторов х₁, х₂,…,х_n. Если все элементы поля a_i=0, то, конечно, и вся линейная комбинация равна нулю. Но может так случиться, что она равна нулю и при некотором наборе коэффициентов a_i, в котором не все они нулевые. Если это возможно, то тогда совокупность векторов {х₁, х₂,…х_n}

называется линейно зависимой. В противном случае она называется линейно независимой.

Упражнение 10.

10.1. Если среди векторов находится нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

10.2. Если среди векторов имеются два одинаковых вектора, то эта система линейно зависима.

10.3. Если система линейно независима, то и всякая её подсистема линейно независима. 10.4. Система векторов {x_i}, iÎI линейно независима тогда и только тогда, когда каждый вектор у, представимый в виде линейной комбинации векторов из этой системы у=₁х₁+₂х₂+…+_nх_n, представим таким образом однозначно (не существует линейной комбинации с другими коэффициентамиa_i, дающих в результате тот же у).

(Def.) Бесконечная совокупность векторов независима, если любая конечная её подсистема независима.

Упражнение 11.

Система векторов {x_i}, iI (некоторому множеству индексов, конечному или бесконечному, может быть, даже несчётному) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из векторов этой системы является линейной комбинацией других.

В своём доказательстве укажите место, где вы используете именно то, что мы имеем дело с ЛП, а не с модулями (т.е., это утверждение может и не быть верным для некоторых модулей).

Определение.

Система векторов ЛП V {x_i}, iI называется базисом V, если каждый вектор из V однозначно представим в виде линейной комбинации векторов из {x_i}. Пространство V называется конечномерным, если множество I конечно. В этом случае число элементов в I называется размерностью ЛП. Упражнение 14 устанавливает корректность этого определения.

Мы будем иметь дело только с конечномерными ЛП.

Упражнение 12.

Векторы базиса линейно независимы.

Упражнение 13*. (Лемма о двух системах векторов)

Пусть система векторов ЛП V {x_i}, i=1,2,…,n линейно независима и каждый вектор х_i является линейной комбинацией (линейно выражается) векторов системы {у_i}, i=1,2,…, m. Тогда nm.

(hint: for m=1 it is obvious. Prove, that one can express one of y-s through other y-s and one of x-s. Substitute it into the system of equations and see, that (n-1) new vectors, produced from x-set, are linear combination of (m-1) y-s. Prove that this new set of vectors is also linearly independent).

Из этого важного упражнения вытекают далеко идущие следствия.

Упражнение 14.

Если ЛП конечномерно, то все его базисы имеют одно и то же число векторов, называемое размерностью ЛП. Размерность ЛП V обозначается как dimV.

Упражнение 15.

Если в упражнении 11 система{у_i} линейно зависима, то n<m.

Упражнение 16.

Если в m-мерном ЛП какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.

Упражнение 17 (теорема о продолжении базиса).

Произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m-мерном ЛП, где n<m. Любые n векторов в нём при m<n линейно зависимы.

Упражнение 18.

Определите размерности (и обоснуйте свои выводы, базируясь на предыдущих упражнениях) ЛП в примерах 1,2 и 4-7 из параграфа 1.2. Приведите примеры их базисов. Для примеров 4 и 5 рассмотрите случай, когда множество А конечно.

Упражнение 19.

Какова размерность пространства матриц 22 над Q? Матриц nn? Приведите примеры их базисов.

Определение.

Линейной оболочкой семейства векторов ЛП L называется множество всех их линейных комбинаций.

Упражнение 20.

Линейная оболочка является линейным подпространством ЛП L.

(Def.) Линейную оболочку системы векторов {x_i}, iI называют также подпространством, натянутым на векторы {x_i} или порождённым векторами {x_i}.

Упражнение 21.

Линейная оболочка системы векторов {x_i}, iI ЛП L совпадает с пересечением всех подпространств L, содержащих все x_i.

(Def.) Размерность линейной оболочки семейства векторов называется его рангом.