1.4. Морфизмы и матрицы.

Для того, чтобы определить морфизмы ЛП, они должны быть заданы относительно одного и того же поля. Итак, пусть имеются два ЛП, E и V над некоторым полем K.

Определение.

f:EV называется К-морфизмом векторных пространств, если он является гомоморфизмом их как абелевых групп и коммутирует с действием поля К, а именно: f(e₁+e₂)=f(e₁)+f(e₂) и f(ke)=kf(e). Морфизмы ЛП называются линейными отображениями. Если E=V, (то есть, f:EЕ), то f называют линейными оператором.

Г рафически перестановочность К-линейного отображения с операциями в Е и V и действием поля К изображена на рисунке.

Примеры.

А) Нулевое: f(х)=0 хE

В) Тождественное: id:E®Е, : id(х)=х хE.

С) Гомотетия: f:E®Е; : f(х)=х "хÎE.

Покажите, что первые два примера являются частными случаями третьего.

D) Оператор ограничения. Рассмотрим множество F^А ={ff:AF} (см. пример 4 п.1.2) и пусть ВА. Рассмотрим fF^А как элемент пространства F^В (ограничим её значениями на В) и дадим ей имя g. Тогда h: F^А®F^B, h: fg F-линеен.

Упражнение 22

E) Е – координатная (x,y) точечная плоскость, f –поворот её вокруг начала координат на угол . F) E –трёхмерное координатное (x,y,z) пространство, f –поворот его вокруг оси z на угол .

G) является ли оператор трансляции T_v на вектор v, T_v(x)=v+x линейным оператором на ЛП Е?

Упражнение 23.

Образ линейной комбинации векторов при линейном отображении будет линейной комбинацией образов этих векторов с теми же коэффициентами.

Определение.

Частный случай линейного отображения f, когда V=F (отображаем в поле, над которым V –ЛП) называется линейной функцией или линейной формой или линейным функционалом (последнее чаще всего, когда V бесконечномерно). Выберем какой-нибудь базис {x_i}, iI в V. Пусть уV, у= , в этой сумме лишь конечное число ненулевых слагаемых (отличных от нуля коэффициентов _i). Положим f(y)=_i (каждому вектору V ставим в соответствие его коэффициент в разложении по базису при определённом векторе x_i.).

Упражнение 24.

Докажите, что получим при этом линейный функционал.

Упражнение 25.

Пусть L_K(E,V) обозначает множество всех К-линейных отображений из ЛП Е в ЛП V (оба, разумеется, над полем К). Определите естественным образом операцию в L_K(E,V) и действие К на нём, и убедитесь в том, что L_K(E,V) само превратилось в ЛП над К.

Упражнение 26.

Пусть линейная оболочка семейства векторов {е_i}, iI={1,2,...,n} равна ЛП Е, а {v_i}, iÎI –произвольная система из n векторов ЛП V. Тогда существует не более одного линейного f:EV такого, что f(е_i)=v_i iÎI.

Упражнение 27.

Если в условиях предыдущего упражнения векторы е_i линейно независимы (то есть, образуют базис Е), то такое f:E®V существует. Как линейная зависимость может помешать существованию?

Упражнение 28.

1. Пусть fL_K(E,V); gÎL_K(V,W). Тогда gfL_K(E,W).

Биективные линейные отображения называются, как и прежде, изоморфизмами (только теперь не множеств, групп, или колец, а ЛП) линейных пространств.

Линейные пространства изоморфны, если между ними существует изоморфизм.

2. Конечномерные пространства изоморфны  они одной размерности.

Упражнение 29.

Если f:E®V – биекция, то существует обратное к нему f^-1: V®E. Докажите, что оно тоже линейно.

Отсюда следует, в частности, что множество К-линейных автоморфизмов Aut_KV само является ЛП относительно композиции. Сравните с L_K(V,V) из упражнения 25. В чём разница?

Упражнение 30.

Ядро и образ линейного отображения f:E®V являются линейными подпространствами соответственно в Е и V.

Упражнение 31*.

Пусть fL_K(E,V) и Е конечномерно. Тогда dimE=dimKerf+dimImf.

(Hint: Chose some basis e₁, ...,e_m in Kerf and extend it to basis e₁, ...,e_m,e_m+1,...e_m+n in E. Prove f(e_m+1),..., f(e_m+n) make basis for Imf)

В качестве лёгкого (но полезного!) следствия отсюда, покажите, что в случае конечномерных пространств следующие два условия эквивалентны:

а) f:E®V инъективно; b) dimE=dimImf.

В качестве другого следствия, объясните, почему неоднородная система линейных уравнений всегда разрешима (т.е., имеет решение), когда ассоциированная с ней однородная система имеет только тривиальное (все х_i=0) решение.

И, наконец, отсюда же выведите, что однородная система всегда имеет нетривиальные решения, когда число неизвестных превышает число уравнений.

Упражнение 32.

Сумма двух подпространств определяется также как и их сумма как абелевых подгрупп: как множество всевозможных сумм, в которых первое слагаемое является элементом одной подгруппы, а второе – второй. Докажите, что в результате получится не просто подгруппа (это мы уже доказывали раньше), а именно подпространство.

Def. Следующее понятие относится ко всем прошлым, равно как и ко всем будущим алгебраическим объектам: сумма (подгрупп, подпространств и т.п.) называется прямой, если общим элементом слагаемых является только нейтральный (в данном случае - нулевое подпространство).

Если ЛП Е разлагается в прямую сумму своих подпространств V и W, то это записывается так: E=VW. Значок  в отличие от простого + служит индикатором того, что сумма – прямая.

При этом подпространства V и W называются дополнениями друг к другу.

Упражнение 33*.

Пусть имеются два подпространства пространства V; V₁V и V₂V. Тогда dim(V₁+V₂)=dimV₁+dimV₂-dim(V₁V₂)

(Hint: extend basis e₁, ...,e_m of V₁V₂ to bases of V₁ and V₂. Prove that the whole set makes a basis for V1+V2)

Далее идут три лёгкие упражнения.

Упражнение 34.

Пространство V разлагается в прямую сумму своих подпространств V₁V и V₂V; V=V₁V₂ если и только если каждый вектор х пространства V можно и при том единственным способом представить в виде суммы двух векторов х=х₁+х₂ где х₁V_1, а х₂V₂.

Упражнение 35.

Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Тогда dimV=dimW+dimV/W, где за V/W обозначено, как обычно, фактор-пространство V по подпространству W. (См. упр. 6 и 9)

Def. Размерность фактор-пространства V/W называется коразмерностью подпространства W в V и обозначается как codimW. Таким образом, codimW=dimV/W.

Def. Одномерные векторные подпространства называются прямыми, двумерные – плоскостями, подпространства коразмерности 1 – гиперплоскостями. Векторы, принадлежащие одной и той же прямой, называются коллинеарными, одной и той же плоскости – компланарными. Имеет ли смысл вопрос о компланарности пары векторов? Почему?

Упражнение 36.

Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Тогда dimWdimV. Если W – собственное подпространство пространства V, то dimW<dimV. В V существуют подпространства всех размерностей, от 0 до dimV.

А теперь установим связь между линейными отображениями и матрицами. Пусть f:E®V К-линейное отображение конечномерных ЛП. Пусть в каждом из них выбраны базисы; е={e₁, e₂,...,e_n} в E и v={v₁, v₂,...,v_m} в V. Тогда вектор f(e₁), например, разлагается по выбранному в V базису, f(e₁)=a₁₁v₁+ a₂₁v₂+...+ a_m1v_m. Соответственно, f(e_j)= . NB! Заметьте, что мы спускаемся вниз по j-му столбцу матрицы (a_ij)! Возникла матрица (a_ij)из m строк и n столбцов, зависящая от отображения f и базисов e и v; B(f,e,v)=(a_ij).

Упражнение 37.

Пусть xE – вектор ЛП Е, x=x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n – его разложение по базису е с компонентами {x_i}, i=1,2,...,n. Запишем их в виде столбца X– матрицы (n1): . Вектор f(x) разложим в V по базису v; f(x)=y₁v₁+y₂v₂+...+y_mv_m; . Проверьте, что (a_ij)X=Y.

Упражнение 38.

Выбор базисов е={e₁, e₂,...,e_n} в E и v={v₁, v₂,...,v_m} в V определяет изоморфизм L_К(E,V) K-линейных отображений из Е в V и (nm) матриц с компонентами из К как ЛП над К.

С другой стороны, если у нас имеются три ЛП E, V и W и в них три базиса е={e₁, e₂,...,e_n}, v={v₁, v₂,...,v_m} и w={w₁, w₂,...,w_k} соответственно, то каждой матрице А=(a_ij)из n строк и m столбцов, a_ijК, соответствует линейное отображение f_A,e,vL_К(E,V) , где Х – вектор с координатами {x_i} относительно базиса е, а координаты вектора АХ вычислены относительно базиса v. Точно также, каждой матрице B=(b_r,s) из m строк и k столбцов, (b_r,s)К, соответствует линейное отображение g_B,v,wL_К(V,W).

Упражнение 39.

Докажите, что имеет место (при выбранных базисах е, v и w) h_ВА=g_Bf_A. (Отображение, отвечающее произведению матриц в данном порядке совпадает с композицией отображений, соответствующих матрицам А и В).

Упражнение 40.

Пусть В – матрица, а Х – столбец, для которого определён столбец ВХ (см. упр. 36) и пусть А – матрица такая, что определено АВ. Тогда определёны А(ВХ) и (АВ)Х и А(ВХ) = (АВ)Х.

Упражнение 41*.

Пусть {x_i}, iÎI={1,2,...,n} - базис в V; A=(a_ij) матрица nn и .

Докажите, что {у_i}- базис в V  матрица А обратима.

Заметьте, что поскольку множество матриц, равно как и множество линейных операторов не образует группу по умножению, поэтому из существования левого обратного элемента не следует существование правого и их равенство. Тем не менее, в качестве следствия из вашего доказательства, выведите, что в данном случае это, тем не менее, так:

Упражнение 42.

Если для квадратной матрицы А существует матрица В такая, что АВ=I, то и ВА=I.

Введём обозначения (для следующего упражнения).

Пусть f:E®V - К-линейное отображение конечномерных ЛП. Пусть в каждом из них выбраны базисы; е={e₁, e₂,...,e_n} и v={v₁, v₂,...,v_m}. Матрицу (a_ij) ассоциированную с этим f и с этими базисами обозначим как . Пусть xE – вектор ЛП Е, x=x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n – его разложение по базису е. Столбец его компонент обозначим как А_e(x). В этих обозначениях А_v(f(x))= ·А_e(x).

Упражнение 43. (Сравни с упражнениями 39 и 40)

Пусть отображения конечномерных ЛП над полем К; е, v и w – их базисы соответственно. Тогда .

Теперь займёмся вопросом, как меняется матрица линейного оператора в зависимости от базиса. Итак, сейчас у нас E=V=W. Тождественное отображение, как обычно, обозначим как id.

Упражнение 44.

Всякая матрица (где - другой базис Е) обратима.

Упражнение 45.

Пусть Е – ЛП размерности n над полем К, е – некоторый его базис. Тогда отображение является изоморфизмом кольца End(E) эндоморфизмов ЛП Е на кольцо (nn) матриц над К.

Упражнение 46.

Пусть в ЛП Е выбраны два базиса e и  и C= - матрица «перехода», выражающая векторы базиса  через векторы базиса е. Тогда .

Таким образом, мы видим, что матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору, но отнесённые к разным базисам, сопряжены. Каждому оператору соответствует класс сопряжённых матриц; существует биекция между операторами и орбитами матриц относительно действия сопряжением группы всех обратимых матриц (по умножению!) на моноиде всех матриц.

Осталось сделать ещё одно, чисто техническое, но очень важное упражнение. Мы видели (см. упражнение №35), что координаты образа базисного j-го вектора под действием оператора А записаны в j-ом столбце матрицы (a_ij) этого оператора. Посмотрим теперь, как изменяются координаты произвольного вектора. Итак,

Упражнение 47

Пусть АL_К(V,V); Пусть в базисе е={e₁, e₂,...,e_n} вектор x имел координаты (x₁,x₂,...,x_n); x=x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n, а в базисе Ае=f=={f₁, f₂,...,f_n} - координаты (y₁,y₂,...,y_n); x=y₁f₁+y₂f₂+...+y_nf_n.

Выясните, как связаны координаты у и х; как выражается у_i через x₁,x₂,...,x_n посредством матрицы (a_ij) оператора А.