1.7. Инвариантные подпространства.

Def. Подпространство WV называется инвариантным относительно оператора А: V®V, если А(W)W. Примеры. Всегда инвариантны всё пространство V и его нулевое подпространство. Кроме них (их называют тривиальными) у различных линейных операторов могут быть, а может и не быть инвариантных подпространств. Проверьте на наличие нетривиальных инвариантных подпространств следующие ЛП и их линейные операторы.

Упражнение 62.

А) Пусть V – координатная точечная плоскость (x,y), f –поворот её вокруг точки О=(0,0) на угол . В) E –трёхмерное координатное (x,y,z) пространство, f –поворот его вокруг оси z на угол .

С) V – координатная точечная плоскость (x,y), f в стандартном базисе t₁=(1,0); t₂=(0,1) задаётся матрицей . Найдите все (нетривиальные) инвариантные подпространства этого оператора.

Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства. Одномерное ЛП V– это множество всевозможных «кратных» одного вектора (вспомним главные идеалы!), порождённые вектором х и элементами  поля К векторы х. Чтобы АхÎV нужно чтобы он тоже был кратен х.

Def. Вектор х0, удовлетворяющий равенству Аx=aх называется собственным вектором (eigenvector) оператора А, элемент поля a, ему отвечающий – собственным значением или характеристическим числом (eigenvalue).

Собственное значение, как легко проверить (проверьте!) не зависит от выбора вектора х во множестве коллинеарных ему векторов одномерного ЛП V.

Упражнение 63*.

Собственные векторы e₁, e₂,...,e_n отвечающие попарно различным собственным значениям линейно независимы. (hint: induction)

Упражнение 64.

Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют инвариантное подпространство. (Доказать).

Упражнение 65.

Пусть линейные операторы А и В коммутируют: АВ=ВА. Докажите, что подпространство R(a) всех собственных векторов A, отвечающих собственному значению a ( плюс 0) инвариантно относительно В.

Упражнение 66. Как выглядит матрица оператора АL_К(V,V), имеющего инвариантные подпространства V₁ и V₂ такие, что V=V₁V₂?

Def. Пусть E=VÅW. Тогда любой вектор хÎЕ разлагается (и при том однозначно!) в сумму векторов из V и W: x=v+w. Оператор р:x v называется проектором или оператором проектирования Е на V параллельно W (или ассоциированным с разложением E=VÅW). Очевидны следующие два свойства этого оператора (равно как и его линейность): Imp=V и (иными словами, р:E®Vсюръективно и р(х)=х xV)

Упражнение 67.

Докажите, что и обратно, оператор, обладающий этими свойствами (а именно, что на V=Imp), является проектором. Докажите, что, таким образом, устанавливается биекция между дополнениями W к подпространству V в Е и проекторами Е на V. Докажите, что проекторы удовлетворяют уравнению р²=р (это означает, что р(р(х))=р(х) xЕ) и что это свойство проекторов является характеристическим (то есть, его можно принять за определение проекторов), а именно, если некий оператор р обладает таким свойством (р²=р), то он – проектор.