- •2.Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.
- •7 Означення повторних незалежних випробувань.
- •8 Формула Бернуллі для обчислення ймовірності і наймовірнішого числа.
- •9 Локальна та інтегральна теореми Мавра-Лапласа.
- •10Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій.
- •11 Означення випадкової величини.
- •23. Означення дискретної випадкової величини
- •24. Біноміальний закон розподілу
- •25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу:
- •26. Рівномірний закон розподілу
- •28. Логарифмічний нормальний закон розподілу
- •33. . Закон великих чисел, центральна гранична теорема.
- •35) Теорема Чебишова
- •36) Теорема Бернулі
25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу:
Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:
Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.
26. Рівномірний закон розподілу
Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу:
Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:
27. Нормальний закон розподілу задається щільністю Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:
Часто застосовується також формула:
28. Логарифмічний нормальний закон розподілу
Нехай Y має закон розподілу ,
- ∞<y<∞.
Необхідно знайти f(x), якщо Х= . Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді Оскільки
Отже,
Закон розподілу випадкової величини Х із цією щільністю називають логарифмічним нормальним законом.
29. Показниковий закон розподілу
. .
Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:
Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:
Ме=ln2/a.
Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість – відсутність післядії, а саме: якщо пов”язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість закону використовують у харківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.
30. Розподіл Розглядаємо послідовність попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.
Якщо то ця сума має розподіл з ступенями волі. Щільність розподілу Числові характеристики розподілу: До виразу щільності розподілу входить гамма-функція
Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.
Для розподілу складено таблиці виду для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого 0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано значення для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального з відповідними математичним сподіванням і дисперсією.
M(X)=n. D(X)=2n.
31. Розподіл Стьюдента. Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, а . Випадкова величина не залежить від Х і має розподіл з n ступенями волі. Щільність розподілу Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t, якщо особливо за малих значень n
Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
M(Z)=0. .
32. Розподіл Фішера. Якщо випадкові величини незалежні і мають — розподіл відповідно з ступенями волі, то випадкова величина має розподіл Фішера з ступенями волі. Щільність цього розподілу подається формулою:
Щільність розподілу Фішера має графік, зображений на
Для розподілу Фішера складено таблиці, в яких для відповідної кількості ступенів волі для ймовірностей наведено значення –