1. Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.

Озн: Позначимо через D множину упорядкованих пар чисел (х,у), якщо кожні пари (х,у) за певним правилом або законом відповідає єдине число, то кажуть, що на множині D|R² визначено функцію двох зміних z=f(x,y).

Озн: Графіком функції z=f(x,y) називаються множина точок Р(х,у, f(x,y)), яка утворює у просторі R³ певну поверхню, проекцію якої на площину xOy є множина D.

Узагальнюючи можна розглянути означення функції n змінних.

Озн: Нехай D множина, що складаеться з упорядкованих наборів n чисел (х₁,...,х_n). Якщо кожній точці (х₁, ... , х_n)D|Rⁿ за певним правилом відповідає єдине дійсне число, то кажуть, що на множині D визначена функція n змінних.

U=f (х₁, х₂, ... , х_n). Зрозуміло, що у випадку n3 графік функції побудувати неможливо.

Надалі ми будемо розглядати функції лише 2-х зміних, для більшого числа змінних всі означення і теореми формулюються однаково.

Озн: Нехай задано т. М₀(х₀, у₀)R² , її -окіл будемо наз. множину точок М(x,y): ( М₀,М)=((х-х₀)²+(у-у₀)²)^1/2.

Тут ( М₀,М) – відстань від точками М,М₀.

Геометрично -окіл т. М₀ –це множина всіх внутрішніх точок круга з центром у точці М₀ радіуса .

Озн: Нехай задана послідовність М₁(х₁, у₁), ... , М_n(х_n, y_n), … -- послідовність довільних точок. Позначимо її через {M_n}^∞_n=1.

Кажуть що послідовність {M_n}^∞_n=1 – збігається дот. М₀(х₀, у₀), якщо для будь-якого існує =такий що для будь-якогоn виконується нерівність ( М_n,М₀). Це позначають lim М_n= М₀.

Озн: Нехай функція z=f(x,y) визначина на множині D і т. М₀D або М₀D, але у цьому випадку будь-який окіл т. М₀ містить точки із D. Число А називається границею функції z=f(x,y)=f(М) при М→ М₀, якщо для будь-якої послідовності точок {М_n}_n=1 де М_n→ М₀ (і М_n ≠ М₀) послідовність відповідних значень функції f(М_n _n=1 має границю А. Це позначають limf(М)= А.

Наведені означення називається означенням границі функції за Гейне або на “мові послідовностей”.Існує еквівалентне означення границі функції за Коші або на “мові -”.

Озн: Число А називається границею функції z=f(x,y)=f(М) при М→ М₀ , якщо для будь-якого її околу міститься хоча б одна точка множини D і  існує число , що  таке, що для всіх точок МD і задовольняють нерівність 0( М₀,М) виконується нерівність f(М)-А

Для функції багатоьх змінних по анології доводиться відповідні теореми про границі, зокрема

Теорема: Якщо функції z=f(x,y), z=g(x,y) визначені на одній множині D і мають у точці М₀ відповідні границі, відповідно, А і В, то в цій точці ф-ї f(x,y)±g(x,y), f(x,y)*g(x,y), f(x,y)/g(x,y) також мають у точці М ₀ границі, що відповідно = А±В, А*В,А/В(В≠0).

Озн: Ф-я α=α(x,y)=α(М) наз нескінченно малою у точці М ₀ якщо

Теорема: Для того щоб функція z=f(x,y)=f(М) мала в точці М ₀ границю А необхідно і достатньо щоб функція α(М)=f(М)-А була нескінченно малою у точці М ₀.

2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.

Озн: Нехай ф-я z=f(М) визначена на множині D і точка М₀D, довільний окіл М ₀ містить точку з D ≠ М₀ ця ф-я називається неперервною у точці М₀, якщо _(1).

Якщо у т. М₀ рівність (1) не виконується, ф-я наз. розривною у точці М₀, а саму точку М₀ наз. точкою розриву ф-ї.

Позначимо через х=х-х₀, у=у-у₀, z=f(М)-f(М₀)=f(x,y)-f(x₀,y₀)

Величини х, у називають приростами аргументів x і y, а величина z наз. повним приростом ф-ї.

Запишемо формулу (1) у вигляді:

f(x,y) в т. М₀(х₀, у₀)з (1) сліду., що ↔ (2)

Рівність (2) дає можливість сформулювати іще одне еквівалентне означення неперервності ф-ї багатьох змінних у точці.

Озн: Нехай т. М₀ відповідає переліченим вище вимогам. Ф-я z=f(М)наз. неприливною в цій т., якщо її повний приріст в т. М₀ → 0, якщо до 0 прямують приріст її аргументів.

Озн:Ф-ю z=f(М) наз. неперервною на множині D якщо вона неперервна у кожній точці D.

Озн: множина наз. звязною, якщо разом з будь-якими 2 своїми точками, вона містить непереривну криву, яка їх сполучає. Множина наз. відкритою, якщо її точка міститься у множині разом із деяким своїм околом.

Озн: Точка М множини D наз. внутрішньою, якщо вона належить множині D разом із деяким своїм околом.

Приклад:

х²+у²1 – відкрита множина.

Озн: Областю наз. відкриту связну множину.

Озн: Точка наз. межовою точкою для даної множини, якщо кожний її окіл містить точки, які належать даній множині, так і точки, які даній множ. не належать. Множина межових точок утв. межу даної множини.

Множина разом з її межею утв. замкнену множину

Озн: Множина наз. обмеженою, якщо існує коло скінченного радіусу, який містить у собі дану множину.

Основні теореми для неперервних ф-й визначених на такій множині:

Теорема 1: Якщо ф-я z=f(М), неперервна на замкненій обмеженій області D, то ця ф-я обмежена на D: C>0:M|f(M)|C.

Теорема 2: Якщо ф-я z=f(М), неперервна у замкненій обмеженій області, то вона набуває на ній свого найбільшого і найменшого значення.

Теорема 3: Якщо ф-я z=f(М), неперервна у замкненій обмеженій області D і виконується нерівність

f(М₁) f(М₂), де М₁ і М₂ D, то існує т. M₀D, така що f(М₀)=, зокрема, якщо f(М₁)0, а f(М₂)0 M₀D: f(М₀)=0.

3. Частинні похідні. Диференціал функцій багатьох змінних.

Нехай ф-я z=f(М) визначена на множині D. Точка М(x,y) належить D. Надамо змінній х приріст х, але так щоб точка М₁(х+х,у) належала D. Позначимо через _хz= f(х+х,у)-f(x,y), величину _хz наз. частинним прирістом ф-ї z=f(М) по змінній x у точці М по змінній x. Аналогічно визначається частинний приріст ф-ї по змінній у: _хz= f(х+х,у)-f(x,y).

Озн:

Якщо існує скінчена границя , то її наз. частинною похідною ф-їz=f(x,y) у точці М(x,y) і: f/x, z/x, f’_x,z’_x. Аналогічно визначається частинна похідну ф-ї z=f(x,y) по змінній у:

Яка позначається: f/у, z/у, f’_у,z’_у .

Якщо ідеться про значення частинної похідної у конкретній т. М₀(х₀, у₀) це позначають f(х₀,у₀)/x, z’_x_М0.

Як випливае з озн. част. похідної для її знах. застосовують ті самі формули і правила, які використовуються для функції 1-ї змінної. Наприклад для знах. f/x у функції z=f(x,y) змінну x вважають змінною, а y-сталою.

Якщо на множині D похідну f/x розглядають як функцію, то від неї можна в свою чергу також знах. частинні похідні. Якщо цю функцію про диференціювати по X, одержимо част. похідну

2-го порядку f”_xx=(f’_x)’_x або  ²f /x²= /x( f /x)

Таким чином для ф-ї двох змінних z=f(x,y) можна говорити про чотири частинних похідних другого порядку: f”_xx, f”_уу ,f”_xу ,f”_уx .

Виявляється, що для мішаних похідних у загальному випадку порядок диф. є суттєвим.

Теорема Шварца:

Якщо ф-я z=f(x,y) разом з своїмі част. похідними f’_x, f’_у, f’_xу, f’_ух визначені у деякому околі точки М₀ і в цій точці мішані похідні f”_xу; f”_yx неперервні в т. М₀ , то f”_xу|_M0=f”_yx|_M0

Наведена теорема справедлива для будь-яких мішаних похідних, які відрізняються лише порядком.

Нехай ф-я z=f(x,y) належить D,т. М(x,y) належить D. Надамо змінним х та у прирісту відповідно х,у, але так щоб М₂(х+х,у+у) належала D . Величину z= f(х+х,у+у)- f(x,y) (1) наз. повним приростом ф-ї z=f(x,y) у точці М.

Озн. Ф-я z=f(x,y) наз. диференційною у точці М, якщо її повний приріст (1) в цій точці можна у вигляді z=Ах+Ву+x+y (2), де А,В –дійсні числа, які не залежать від х,у;х,у), х,у) – нескінченно малі ф-ї, якщо х, у0.

Теорема 1(неперервність диференцируємої ф-ї): Якщо ф-я z=f(x,y) диференційна у точці М, то вона неперервна в цій точці.

Доведення:

Перейдимо у рівності (2) до границі при х→0; у→0 одержимо що z →0 Тобто ф-я z=f(x,y) неперервна у точці М.

Теорема 2(існування частинних похідних диференцируємої ф-ї): Якщо ф-я z=f(x,y) диференційна в точці М, то в цій точці вона має частинні похідні 1-го порядку по змінним x і у причому урівності (2) А=f /x, B=f /y

Теорема 3(достатні умови диференцируємості): Якщо ф-я z=f(x,y) визначена у деякому околі т. М і має частинні похідні f /x, f /y які є неперервними в т. М, то ф-я z=f(x,y) диференційна в точці М.