- •§ 1. Введение. Кинематика поступательного и вращательного движения.
- •Предмет физики. Связь физики с другими науками и производством
- •Физические процессы в организме.
- •Общий случай криволинейного движения материальной точки; основные характеристики движения.
- •Прямолинейное движение материальной точки
- •1.5 Движение материальной точки по окружности
- •§ 2. Динамика движения.
- •2.1. Законы Ньютона. Масса и сила
- •2.2 Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.
- •2.3.Вес тела и сила тяжести.
- •2.4. Момент силы. Рычаг. Суставы и рычаги в опорно-двигательном аппарате человека.
- •2.5. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
- •§ 3. Работа, мощность, энергия.
- •3.1. Работа и мощность
- •3.2. Энергия
- •3.3. Закон сохранения и превращения энергии
- •§ 4. Основы гидро- и аэродинамики
- •4.1 Основные определения. Уравнение неразрывности
- •4.2. Уравнение Бернулли
- •4.3. О некоторых приложениях уравнения Бернулли
- •4.4. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости.
- •4.5. Физические основы клинического метода измерения давления крови.
- •4.6. Определение скорости кровотока.
4.2. Уравнение Бернулли
Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями и ,в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 4.3).
Рисунок 4.3.
Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени . За это время масса жидкости, заключенная между сечениями и втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями и , вытекает из нее. Иных изменений в
рассматриваемой области не происходит. Поэтому величина изменения полной энергии равна разности полных энергий вытекающей и втекающей масс.
Учитывая, что полная энергия идеальной несжимаемой жидкости слагается из ее кинетической и потенциальной энергий, получим
(2),
где индексы 1 и 2 относятся соответственно к сечениям и .
Вводя в формулу B) выражения кинетической и потенциальной энергий, напишем
(3)
где — ускорение силы тяжести.
В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина изменения энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :
. (4)
Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути ; в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути . Поэтому
и ,
а искомая работа
Учитывая, что
и ,
где и давления на сечениях и , получим
.
Но
где - объем рассматриваемых масс. Поэтому
(5)
Объединяя формулы (3), (4) и (5), получим после перегруппировки слагаемых
.
Поделив обе части последнего равенства на и учитывая, что - плотность жидкости, получим
Поскольку сечения и выбраны произвольно, можно окончательно
написать
(6)
Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д. Бернулли, называется уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе — удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести; третье — удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объема жидкости).
Единицей измерения давления является паскаль (Па). Паскаль — давление, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной на поверхности площадью 1 м2;
Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии удельной) и может быть сформулировано так: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.
Из приведенного преобразования единиц измерения давления в единицы измерения удельной энергии следует, что все члены левой части уравнения (6) можно еще рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину — динамическим давлением, величину — гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать еще такую формулировку: в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.
Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение
Бернулли принимает вид
(7)
(так как ).
В заключение остановимся на следующем важном положении.
Уравнения (1) и (6) применимы не только к жидкостям, но и к газам в случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать. Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости.
Что касается сжимаемости газа, то, как показывают теория и опыт, ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет около 340 м/с = 1224 км/ч. Поэтому воздух, движущийся со скоростью, не превышающей 150—200 м/с, допустимо считать идеальной несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.