§ 4. Основы гидро- и аэродинамики

4.1 Основные определения. Уравнение неразрывности

В отличие от твердого тела в жидкости возможны значительные смещения составляющих ее частиц относительно друг друга. Поэтому движущаяся жидкость может изменять свою форму в соответствии с формой русла.

Реальная жидкость сжимаема: ее объем уменьшается, а плотность увеличивается с повышением давления. Однако сжимаемость жидкости

мала. Например, при повышении давления от 105 до 107 Па плотность воды увеличивается всего лишь на 0,5%. В движущейся жидкости обычно не бывает столь больших перепадов давления. Поэтому сжимаемостью движущейся жидкости можно пренебречь.

Реальная жидкость вязка: в движущейся жидкости всегда возникают силы внутреннего трения. Если условия движения жидкости таковы, что силы внутреннего трения малы по сравнению с другими действующими в ней силами (давления, тяжести и т. п.), то жидкость можно считать практически невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, называется идеальной.

Рассмотрим некоторый объем внутри движущейся идеальной несжимаемой жидкости. Мысленно отметим в нем ряд точек и изобразим векторами скорость движения частиц жидкости, находящихся в данный момент времени в этих точках (рис. 4.1., а). Проведем линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости движения частиц жидкости. Такие линии называются линиями тока. Движение жидкости называется установившимся (стационарным), если скорость жидкости в каждой точке рассматриваемого объема не изменяется с течением времени. В этом случае линии тока также остаются неизменными и частица жидкости, находящаяся в данный момент на некоторой линии тока, будет все время оставаться на этой

линии. Иными словами, при установившемся движении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся движение жидкости имеет место в случаях, когда силы, вызывающие движение, не изменяются со временем.

Рисунок 4.1.

Прежде всего покажем (прибегая к доказательству «от противного»), что линии тока не пересекаются между собой. Предположим, что две линии тока пересеклись. Тогда частица жидкости, находящаяся в точке пересечения, должна двигаться одновременно по двум траекториям, что невозможно. Следовательно, линии тока не пересекаются.

Выделим теперь в движущейся жидкости объем, ограниченный линиями тока (рис. 4.1., б). Из положения о непересекаемости линий тока следует, что жидкость не может проходить через боковую поверхность этого объема (ни внутрь объема, ни из него). Таким образом, рассматриваемый объем подобен трубке с непроницаемыми для жидкости стенками. Поэтому объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока.

Выберем в трубке тока два поперечных сечения: (где скорость течения жидкости равна ) и (где скорость течения жидкости равна ). Так как жидкость не сжимается, не разрывается и не переходит через боковую поверхность трубки, то за время через эти сечения пройдут одинаковые объемы, а следовательно, и одинаковые массы жидкости. Объем жидкости, протекающий через широкое сечение, имеет форму цилиндра с основанием и высотой , он равен . Точно так же объем жидкости, протекающий через узкое сечение, равен . Тогда так как сечения были выбраны произвольно, то

(1)

т. е. для данной трубки тока произведение площади поперечного сечения трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная.

Соотношение (1) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо не только для трубки тока, но и для всякой реальной трубы, для русла реки и т. п. В соответствии с уравнением неразрывности скорость течения на узких участках речного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге, и т. п.

На рис. 4.2 изображено с помощью линий тока движение жидкости в трубе переменного сечения. В узкой части трубы, где скорость течения наибольшая, линии тока оказываются сгущенными. Таким образом, картина линий тока дает представление не только о направлении, но и о величине скорости течения жидкости.

Рисунок 4.2.