12.Диф. Уравнение движения мат. Точки. Интегр. Их в простейших случаях.
В зависимости от условий задачи диф. уравнения могут иметь разную форму записи
ma=F
x y z
max=Fx
Пусть точка движется вдоль прямолинейной оси ч под действием силы F(x).
Если сила зависит от времени или скорости, а требуется определить зависимость времени и скорости то применяется формула записи(1).
Здесь применяется метод разделения переменных. Если сила зависит от времени и от координаты и необходимо найти их связь то применяют вторую форму записи
Если сила зависит от координаты x и от скорости Vx и при этом необходимо найти их связь то используется форма записи:
Если сила постоянна, то используют готовые интегралы уравнения равнопеременного движения или теоремы динамики точки. Если сила имеет простейшую зависимость от времени то удобно применять теорему об изменении кол-ва движения, и если имеем зависимость от координаты, то можно применять теорему об изменении кинетической энергии.
13.Интегрирование диф. Ур. Движение мат. точки под действием F=const, квадратичного сопротивления.
R=μV^2- такое сопротивление возникает при движении тела в воде или в воздухе. Такая задача встречается при буксировке тел, падении тел в атмосфере, ускоряющемся движении жидкости в трубах при падении давления.
μ=ρ(с/2)S- коэф. сопротивления шара. с≈0,5
S-площадь Миделя
Задача
шар с избыточной силой тяжести P=mg-Pвт падает без начальной скорости в тяжелой жидкости. Определить зависимость М от t при падении.
V=f(t)
В отличие от вакуума предел P=mVm^2
метод разделения
переменных
Разделим числитель и знаменатель левой части на μ.
Безразмерная скорость V+=V/Vm≤1
Безразмерное время
14.Вывод диф. Уравнения малых колебаний точки под действием возвращ. Силы и без сопр.
Груз отклоняют из
положения статического равновесия на
величину y0
и задают начальную скорость
Определить уравнение колебательного движения груза y=f(t)
σ-стат. деф.
состояние стат равновесия
mg=cσ
σст=(mg)/с
c/m=k^2 k=…
k- собственная частота колебаний груза.
(1)
Это диф. уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления.
15.Решение этого уравнения.
Решение этого
линейного однородного уравнения иoем
в виде
z1=ik z2=-ik
При подст z1 и z2 уравнение (2), получим:
y=c1sinkt+c2coskt
с1,с2 –постоянные интегрирования. нах. из начальных условий t=0 y=y0y0=c2
y’=c2k(-sinkt)+c1kcoskt
Если вместе постоянных с1 и с2 ввести постоянные А и β такие что,
с1=Acosβ
c2=Asinβ
Получаем:
y=Asin(kt+β)
16.Вывод диф. уравнения движения мат. точки под действием возвращающей силы упругости и линейного сопротивления.
Задача
Точечный груз
массой m
(кг) подвешен на пружине с коэф. жесткости
с (Н/м) и находится в условиях сопротивления
окружающей жидкости μ (Н*с/м). Груз
отклоняют от сост. равновесия на
расстояние y0
и задают начальную скорость
Определить уравнение колебания движения y=f(t).
Решение:
σст – статическая деформация.
о – положение статического равновесия.
y- переменная величина
В условиях статического равновесия вес уравновешивается mg=cσ
σ=mg/c
μ/m=2n
n-приведенный коэф. сопротивления
c/m=k^2
k- собственная частота колебания груза без сопротивления.
-
диф. уравнение колебательного движения.
Существует 3 режима сопротивления.
1)Если n>k – режим большого сопротивления
2) Если n=k – режим переходного сопротивления
3)n<k (1) режим малого сопротивления при котом появл. вращательное движение.
При первых 2 режимах колебания не происходят, а движение точки называется апериодическим.