Дифференциальные уравнения

Опр. Дифференциальными уравнениями называют уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций.

Если неизвестные функции являются функциями только одного независимого переменного, то уравнения называются обыкновенными, в противном случае - дифференциальными уравнениями в частных производных. Примером дифференциального уравнения в частных производных является уравнение

служащее для определения функции двух переменных В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Опр. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Например, являются уравнениями первого порядка, а - уравнениями второго порядка.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка с одной неизвестной функцией аргумента можно записать в виде (1) где - известная функция своих аргументов.

Опр. Решением дифференциального уравнения (1) на промежутке называется функция , раз дифференцируемая на этом промежутке и которая при подстановке ее вместо в уравнение (1) обращает его в тождество на всем промежутке .

График решения дифференциального уравнения (1) называется интегральной кривой этого уравнения.

Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Иногда решение получают в параметрическом виде где - параметр, или в неявной форме .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка записывается в виде где - независимая переменная, - его неизвестная функция, a - заданная функция трех переменных в некоторой области пространства трех переменных. Если это уравнение может быть разрешено относительно производной , то получим уравнение вида (2)

где - известная функция, определенная в некоторой области на плоскости . Уравнение (2) называют уравнением в нормальной форме.

Уравнение (2) можно записать и в виде если вспомнить, что

.

Оно является частным случаем уравнения в дифференциальной форме вида

, где , .

Задача Коши.

Найти решение уравнения удовлетворяющее условию (3) где и - любые числа, для которых определена функция Условие (3) называют начальным условием, числа и - начальными значениями решения уравнения (2), а саму задачу - задачей Коши или начальной задачей. С геометрической точки зрения задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через данную точку

Решение задачи Коши единственно, о чем говорит следующая теорема.

Т еорема. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , то, какова бы ни была точка области , существует единственное решение этого уравнения, определенное в некотором интервале, содержащем точку и удовлетворяющее условию .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая указанного уравнения, т.е. вся область покрыта интегральными кривыми уравнения, которые нигде не пересекаются между собой.