Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное
неоднородное уравнение
-го
порядка
, (42)
где
- вещественные числа, а функция
непрерывна в некотором промежутке
Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и произвольного частного решения уравнения (42).
Если правая часть
имеет специальный
вид, то
частное решение уравнения (42) можно
найти с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Он
состоит в подстановке частного решения,
составленного по определенной формуле,
в левую часть уравнения (42) и приравнивании
коэффициентов при одинаковых степенях
в левой и правой частях
полученного равенства.
1) Пусть
правая часть уравнения (42) имеет вид
где
- вещественное
число, а
- многочлен степени
.
Тогда частное решение надо
искать в виде
,
где
- многочлен степени
с неопределенными коэффициентами, а
- кратность числа
как корня характеристического уравнения
однородного уравнения, соответствующего
уравнению (42) (если
не является корнем
указанного характеристического
уравнения, то
считается равным
нулю).
2) Если правая
часть уравнения (42) имеет вид
где
и
- любые вещественные
числа, а
и
-
многочлены от
степени m1
и m2,
,
то частное решение следует искать в
виде
,
где
и
- многочлены
степени
с неопределенными коэффициентами, а
- кратность
комплексного числа
как корня характеристического уравнения
однородного уравнения, соответствующего
уравнению (42) (если
не является корнем указанного
характеристического уравнения, то
считается равным нулю).
Пример. Решить
уравнение
Составляем характеристическое
уравнение для соответствующего
однородного уравнения
и находим его корни
Один из корней совпадает с числом
,
значит,
Степень многочлена
в правой части данного
уравнения m=1,
и, следовательно, частное решение следует
искать в виде
,
где
и
-неопределенные
коэффициенты. Вычислим
и
:
Подставляя
в исходное уравнение
и сокращая на
получим
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему двух уравнений
откуда
Искомое частное решение
имеет вид
а общим решением заданного уравнения
будет
где
и
-
произвольные постоянные.
Пример. Решить
уравнение
Составляем характеристическое
уравнение для соответствующего
однородного уравнения
и находим его корни
По правой части данного уравнения
находим, что
Т.к. комплексное число
не является корнем характеристического
уравнения, то
и частное решение ищем в виде
где
и
- неопределенные
коэффициенты. Вычислим вначале
и
:
Подставив
в уравнение и сократив на
получим
или
Приравнивая коэффициенты
при
и
,
получим систему двух уравнений
,
откуда
Искомое частное решение
имеет вид
а общим решением неоднородного уравнения
будет
где
и
- произвольные постоянные.